147 6.1 Kurven in der Ebene Lernziele: º Die verschiedenen Darstellungsarten von Kurven und deren Vorteile und Grenzen kennen º Die Parameterdarstellungen von Kreis und Ellipse kennen º Kurven in Parameterdarstellung mit Technologieeinsatz zeichnen und untersuchen können º Kurven in Parameterdarstellung als Bewegungskurven interpretieren können Darstellungsarten von Kurven Vereinfacht ausgedrückt sind Kurven nichts anderes als Linien, und eine Kurve in der Ebene können wir uns als eine Linie auf einem Blatt Papier vorstellen. Im Mathematikunterricht wurden bisher schon viele Kurvenarten besprochen: z.B. Geraden, verschiedene Funktionsgraphen, Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Die Kurven wurden dabei im Wesentlichen auf drei verschiedene Arten mathematisch beschrieben: als Graph einer Funktion, als Gleichung und in Parameterform. Anhand dreier Geraden f, g und h wird nun ein zusammenfassender Überblick der verschiedenen Darstellungsformen gegeben, deren Vorteile besprochen, aber auch deren Grenzen aufgezeigt. Zum besseren Verständnis ist auch ein Exkurs in den ℝ 3notwendig. Darstellungsart Gerade als Graph einer Funktion (explizite Darstellung) als Gleichung (implizite Darstellung) in Parameterdarstellung x f(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f Die Gerade f ist Graph einer Funktion, die jedem Argument x ∈ ℝ genau einen Funktionswert f(x) zuordnet: f(x) = − 2 x − 3 Die Gerade f besteht aus allen Punkten X = (x|y), deren Koordinaten die folgende Gleichung erfüllen: f: 2 x + y = − 3 Die Gerade f besteht aus allen Punkten X, die man durch Veränderung des Parameters t ∈ ℝ erhält: X = ( 0 − 3) + t · ( 1 − 2) x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 g Die Gerade g kann nicht als Graph einer Funktion dargestellt werden, da dem Argument 3 nicht genau ein Funktionswert zugeordnet wird, sondern unendlich viele. Die Gerade g besteht aus allen Punkten X = (x|y), deren Koordinaten die folgende Gleichung erfüllen: g: x = 3 Die Gerade g besteht aus allen Punkten X, die man durch Veränderung des Parameters t ∈ ℝ erhält: X = ( 3 0) + t · ( 0 1) y 2 4 –4 2 4 –4 –2 0 z h x Die Gerade h kann nicht als Graph einer Funktion f dargestellt werden, da es keine Zuordnung gibt, die jedem x-Wert einen Funktionswert zuordnet. Es gibt keine Gleichung, die die Gerade h beschreibt. Die Gerade h besteht aus allen Punkten X, die man durch Veränderung des Parameters t ∈ ℝ erhält: X = ( − 2 − 2 0) + t · ( 2 2 1 ) Kompetenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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