143 Weg zur Matura Kegelschnitte > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Die Gärtnerellipse Ein Gärtner möchte ein ellipsenförmiges Beet anlegen. Die Begrenzung des Beetes möchte er mit einer Schur und zwei in den Boden gerammten Pflöcken konstruieren (siehe Abbildung S. 121). a) Er verwendet zur Konstruktion der Ellipse ein 10 m langes Seil. 1) Bestimme die Länge (= doppelte Länge der großen Halbachse), die die Ellipse haben wird. 2) Berechne den Abstand, in dem der Gärtner die beiden Pflöcke einschlagen muss, damit die Ellipse 3 Meter breit wird. b) Ein zweites ellipsenförmiges Beet soll die Länge 4 Meter und die Breite 2 Meter haben. 1) Gib die Gleichung der ellipsenförmigen Umrandung des Beetes in erster Hauptlage an. 2) Der Gärtner hat ein 6 Meter langes Seil bei sich. Zeige nachweislich, ob es möglich ist, mit diesem Seil die Ellipse zu konstruieren. Planetenbahnen Nach den Kepler’schen Gesetzen bewegen sich Planeten auf Ellipsenbahnen um die Sonne. In einem gemeinsamen Brennpunkt befindet sich die Sonne. Ein Planet befindet sich im Aphel, wenn er die größtmögliche Entfernung zur Sonne einnimmt und im Perihel, wenn er der Sonne am nächsten ist. Die numerische Exzentrizität ε ist definiert als der Quotient aus linearer Exzentrizität e und der Länge der großen Halbachse einer Ellipse. a) Der Planet Merkur ist im Aphel 6 9,7·1 06 kmund im Perihel 45,9 ·1 06 kmvon der Sonne entfernt. 1) Bestimme die Länge der großen Halbachse a und die lineare Exzentrizität e der elliptischen Umlaufbahn des Planeten Merkur. b) 1) Bestimme die Werte, die die numerische Exzentrizität ε bei einer Ellipse annehmen kann und untersuche, wie der Wert von ε die Form der Ellipse beeinflusst. c) Die Erdbahn hat eine numerische Exzentrizität von ε = 0,0167. Sie kann also näherungsweise als Kreisbahn angenommen werden. 1) Berechne unter dieser Annahme die mittlere Geschwindigkeit der Erde in km/s auf ihrer jährlichen Bahn um die Sonne. Als Radius r der Erdbahn kann man dabei deren mittlere Entfernung zur Sonne nehmen: r = 149,6 Millionen km. d) Für die Fläche A einer Ellipse mit der großen Halbachsenlänge a und kleiner Halbachsenlänge b gilt: A = π·a·b und A = π·a2 · 9 _1 − ε 2 . 1) Zeige, dass die beiden Formeln identisch sind. M2 545 K M2 546 Sonne Aphel Umlaufbahn Perihel Maßstabsgetreue Darste®®ung der e®®iptischen Um®aufbahn der Erde (orange) im Verg®eich mit einem Kreis (weiß). 1. Brennpunkt und Sonne Dez Nov Okt Sep Aug Jul 2. Brennpunkt Perihel Aphel Jun Mai Apr Mär Feb Jan Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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