141 Kegelschnitte > Tangenten an Kegelschnitte Erkläre die Funktionsweise des abgebildeten Fernlichts. In Bibliotheken soll man möglichst leise sein. Damit sich in früheren Zeiten Bibliothekare über weite Strecke unterhalten konnten, ohne die Bibliotheksbesucher zu stören, gab es in manchen Bibliotheken so genannte Flüsterstrecken. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, wie eine Flüsterstrecke funktioniert. Schnittwinkel zwischen zwei Kegelschnitten Der Schnittwinkel zwischen zwei Kurven ist definiert als der Winkel, den die beiden Tangenten im Schnittpunkt einschließen. Den Schnittwinkel zu bestimmen, bedeutet meistens einen sehr hohen Rechenaufwand. Am besten bestimmt man diesen mit Technologieeinsatz (siehe Onlineergänzung). Bestimme den Schnittwinkel, den die Parabel p ar: y2 = 4,5 xund die Ellipse ell: 2 x2 + 3 y2 = 35einschließen. 1. Schritt: Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte von par und ell. Auf Grund geometrischer Überlegungen sind zwei Schnittpunkte zu erwarten. par in ell einsetzen: 2 x2 + 3 · (4,5 x) = 35 ⇒ 2 x 2 + 13,5 x − 35 = 0 ⇒ x 1 = 2; x2 = − 35 _ 4 x 2 kommt als Lösung nicht in Frage, da der Schnittpunkt mit einer Parabel in 1. Hauptlage keinen negativen x-Wert haben kann. x 1 in par eingesetzt liefert die y-Koordinaten der Schnittpunkte: y 2 = 4,5 · 2 = 9 ⇒ y 1 = 3; y2 = − 3 ⇒ S 1 = (2|3 ); S 2 = (2|− 3) 2. Schritt: Da die beiden Schnittwinkel in den Schnittpunkten aus Symmetriegründen gleich groß sind, genügt es, einen Schnittwinkel zu bestimmen. Man bestimmt dafür mit Hilfe der Tangentensteigungen Richtungsvektoren der beiden Tangenten: t ell: 4 x + 9 y = 35 ⇒ k t ell = − 4 _ 9 ⇒ Richtungsvektor = ( 9 − 4) t par: 3 y = (2 + x) 2,25 ⇒ k t par = 3 _ 4 ⇒ Richtungsvektor = ( 4 3) cos (α) = ( 9 − 4) · ( 4 3) ________ |( 9 − 4)| · |( 4 3)| = 24 _ 9 _ 97 · 9 _ 25 = 0,487 ⇒ α = 60,83° Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Kegelschnitten. a) ell: x2 + 3 y2 = 12; hyp: 3 x2 − y 2 = 1 d) k: x 2 + y 2 = 100; par: y2 = − 3 x b) p ar: y2 = 5 x; ell: 4 x2 + 9 y2 = 13 e) par: y 2 = 2 x; y2 = − 2 x c) p ar: x 2 = − 8 y; hyp: 5 x2 − 2 y 2 = 10 f) par: x2 = 3 y; y2 = x 541 542 α S1 tpar t e®® S2 e®® par Muster 543 Ó Technologie Anleitung Schnittwinkel bestimmen 2 sq3xz4 544 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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