139 Kegelschnitte > Tangenten an Kegelschnitte Bestimme die Winkel, unter denen die Geraden g, h und l auf die Ellipse ell treffen. a) ell: x2 + 2 y2 = 18; g: x − 4 y = 0; h: y = 1; l: x = 4 b) ell: 5 x2 + 9 y2 = 405; g: 2 x + 3 y = 27; h: y = 5; l: x = 6 Die Ellipse hat eine ganz besondere Reflexionseigenschaft, welche auch in technischen Anwendungen ausgenützt wird. Der Strahl von einem Brennpunkt (F 1) zu einem Ellipsenpunkt X schließt mit der Ellipse genau den gleichen Winkel ein, wie der Strahl vom anderen Brennpunkt F 2 zum Punkt X. Trifft also ein Lichtstrahl oder eine Schallwelle vom Brennpunkt kommend auf die Ellipse, so wird der Lichtstrahl oder die Schallwelle genau in den anderen Brennpunkt reflektiert. Überprüfe am Beispiel der Ellipse ell und am Ellipsenpunkt X die oben beschriebene Reflexionseigenschaft einer Ellipse. a) ell: 3 x2 + 5 y2 = 120; X = (5|3) c) ell: x2 + 2 y2 = 3; X = (1|1) b) ell: 3 x2 + 4 y2 = 19; X = (1|2) d) ell: x2 + 2 y2 = 9; X = (1|2) Flüstergewölbe wird eine bauliche Konstruktion genannt, mit deren Hilfe man sich über ungewöhnlich große Distanzen in normaler Lautstärke unterhalten kann. Betrachte die nebenstehende Skizze und beschreibe die Funktionsweise des abgebildeten Flüstergewölbes. Ellipsenförmiger Spiegel a) Betrachte die nebenstehende Skizze und beschreibe die Funktionsweise des abgebildeten ellipsenförmigen Spiegels. b) Erkläre, wie man einen ellipsenförmigen Spiegel technisch einsetzen könnte. Tangente an eine Hyperbel Tangentengleichung im Punkt T = (x T| y T) an eine Hyperbel Durch „Aufspalten“ von x2 und y2 in der Hyperbelgleichung hyp: b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spaltform der Hyperbeltangente t: t: b 2 x T x − a 2 y T y = a 2 b 2 (Beweis auf S. 273) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt T = (15|y < 0) an die Hyperbel h yp: x 2 − 5 y 2 = 45. 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die y-Koordinate von T, indem man dessen x-Wert in hyp einsetzt: 15 2 − 5 y 2 = 45 ⇒ y 2 = 36 ⇒ y = − 6(da y < 0sein soll) ⇒ T = (15|− 6) 2. Schritt: Die Tangentengleichung erhält man, indem man T in die Spaltform einsetzt: t: 15 · x − 5 · (− 6) · y = 45 ⇒ t: x + 2 y = 3 Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt T an die Hyperbel hyp. a) hyp: 3 x2 − y 2 = 12; T = (− 4|y > 0) c) hyp: 5 x2 − 9 y 2 = 28; T = (x < 0|8) b) hyp: x2 − 2 y 2 = 14; T = (− 8|y > 0) d) hyp: 2 x2 − 3 y 2 = 29; T = (x > 0|11) 530 Ó Technologie Anleitung Schnittwinkel bestimmen 1 535mq7 531 532 533 Merke x y T t hyp Muster 534 535 α α e®® F1 F2 F2X F1X X t F1 F 2 Ref®exionsgesetz Trifft ein Lichtstrah® auf eine gekrümmte F®äche, so sch®ießen einfa®®ender Strah® und ref®ektierter Strah® mit der Tangentia®ebene den g®eichen Winke® ein. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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