138 5.5 Tangenten an Kegelschnitte Lernziele: º Die Tangenten an Kegelschnitte bestimmen können º Den Schnittwinkel zwischen Kegelschnitten ermitteln können In Kapitel 4 wurde bereits gezeigt, wie man mit der Spaltform die Gleichung der Tangente an einen Kreis in einem Punkt bestimmen kann. Spaltformen gibt es auch für Ellipse, Hyperbel und Parabel. Tangente an eine Ellipse Tangentengleichung im Punkt T = (x T| y T) an eine Ellipse Durch „Aufspalten“ von x2und y2 in der Ellipsengleichung ell: b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spaltform der Ellipsentangente t: b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 (Beweis auf S. 272) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt T = (− 5|y > 0) an die Ellipse e ll: x2 + 5 y2 = 45. 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die y-Koordinate von T, indem man dessen x-Wert in ell einsetzt: (− 5) 2 + 5 y2 = 45 ⇒ y 2 = 4 ⇒ y = 2(da y > 0sein soll) ⇒ T = (− 5|2 ) 2. Schritt: Die Tangentenleichung erhält man, indem man T in die Spaltform einsetzt: t: (− 5) x + 5 · 2 · y = 45 ⇒ t: − x + 2 y = 9 Tangente an einen Kegelschnitt bestimmen Geogebra: Tangente(Punkt, Kegelschnitt) Tangente((0,6),x2 + 2 y2 = 72) t: y = 6 Berechne die Gleichung der Tangente im Punkt T an die Ellipse ell. a) ell: 3 x2 + 5 y2 = 17; T = (2|1 ) b) ell: 5 x2 + 9 y2 = 29; T = (− 2|1 ) Bestimme die Gleichungen der beiden senkrechten und waagrechten Tangenten an die Ellipse. a) ell: 2 x2 + 5 y2 = 10 b) ell: x2 + 2 y2 = 18 c) ell: 4 x2 + 6 y2 = 24 d) ell: x2 + 9 y2 = 9 Schnittwinkel zwischen Ellipse und Gerade Der Schnittwinkel, unter dem eine Gerade g im Punkt S auf die Ellipse ell trifft, ist der Winkel zwischen der Tangente t in S und der Geraden g. Er kann mit der Vektor-Winkel-Formel berechnet werden. Hat die Gerade g zwei Schnittwinkel mit der Ellipse ell, so sind die beiden Schnittwinkel nicht immer gleich groß. Erläutere, unter welchen Bedingungen die beiden Schnittwinkel gleich groß sind. Kompetenzen Merke x y e®® T t Muster 526 Technologie Ó Technologie Anleitung Tangenten bestimmen 5t4b8f 527 528 α S t e®® g 529 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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