137 Kegelschnitte > Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Hyperbel hyp und der Geraden g. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. a) hyp: 4 x2 − 3 y 2 = 1; g: 4 x + 3 y = 1 c) hyp: 16 x2 − 25 y 2 = 800; g: X = ( − 5 4) + t · ( 5 4) b) h yp: 2 x2 − 5 y 2 = 10; g: y = 3 d) hyp: 4 x2 − 9 y 2 = 25; g: X = ( − 3 3) + t · ( − 9 − 8) Lagebeziehung Parabel-Gerade Lagebeziehung Parabel-Gerade Eine Gerade kann Passante, Tangente oder Sekante bezüglich einer Parabel sein. Aber auch hier kann es sein, dass eine Gerade Sekante ist und nur einen gemeinsamen Punkt mit der Parabel besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Gerade normal zur Leitgeraden steht. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Parabel p ar: y2 = 6 xund der Geraden g: y = 2 x + 4. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. 1. Schritt: Eine Variable aus g ausdrücken und in h einsetzen: y = 2 x + 4 ⇒ (2 x + 4) 2 = 6 x 2. Schritt: Die quadratische Gleichung liefert den x-Wert des gemeinsamen Punktes: 4 x 2 + 10 x + 16 = 0 ⇒ keine Lösung ⇒ kein Schnittpunkt ⇒ gist eine Passante. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Parabel p und der Geraden g. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. a) par: y2 = 0,5 x; g: y = x + 4 c) par: y2 = 2 x; g: y = 1 b) p ar: y2 = x; g: y = 0,25 x + 1 d) par: y2 = 3 x; g: x − 3 y = − 6 Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Parabel par und der Geraden g. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. a) p ar: x2 = 4 y; g: X = (− 1 2) + t · ( 3 − 1) c) p ar: y2 = − 5 x; g: X = ( − 5 4) + t · ( 5 4) b) par: x 2 = − 3 y; g: X = ( − 2 0) + t · ( 2 1) Lagebeziehung zwischen Kegelschnitten Um die Lagebeziehung von zwei Kegelschnitten zu bestimmen, bestimmt man die gemeinsamen Punkte. Dazu löst man immer das Gleichungssystem, das sich aus den Gleichungen der beiden Kegelschnitte ergibt. Hier ist es vorteilhaft, Technologie einzusetzen. Bestimme die Schnittpunkte der Ellipse e ll: x 2 + 2 y2 = 18mit der Hyperbel hyp: x2 − 15 y 2 = 1. Auf Grund geometrischer Überlegungen sind vier Schnittpunkte zu erwarten. Mit Hilfe von Technologieeinsatz löst man das Gleichungssystem I: x2 + 2 y2 = 18; II: x2 − 15 y 2 = 1 S 1 = (− 4|1 ); S 2 = (4|1 ); S 3 = (− 4|− 1); S 4 = (4|− 1) Bestimme die Lagebeziehung und gegebenenfalls die Schnittpunkte der Kegelschnitte. a) ell: 3 x 2 + 5 y2 = 120; hyp: x2 − y 2 = 20 b) ell: 3 x2 + 5 y2 = 120; par: y2 = 4 x 520 Ó Arbeitsblatt Lagebeziehung Hyperbel – Gerade t2p7zu Merke Muster 521 522 523 Muster 524 525 Ó Arbeitsblatt Lagebeziehung von zwei Kegelschnitten s9s7u7 S par Sekante mit einem Schnittpunkt Leitlinie S2 S1 T par Sekante mit 2 Schnittpunkten Passante Tangente S1 S2 S3 S4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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