136 Kegelschnitte > Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden 5 Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Ellipse ell und der Geraden g. a) ell: x2 + 3 y2 = 40; g: X = (− 1 2) + t · ( 3 − 1) c) ell: 16 x2 + 25 y2 = 800; g: X = (− 5 4) + t · ( 5 4) b) e ll: x2 + 4 y2 = 4; g: X = (− 2 0) + t · ( 2 1) d) ell: 4 x2 + 9 y2 = 25; g: X = (− 3 3) + t · ( − 9 − 8) Gemeinsame Punkte von Kegelschnitt und Gerade bestimmen Geogebra: Schneide(Objekt, Objekt) Schneide(x2 + 5 y2 = 45, 2 x + y = 1) A = (–0,98, 2,97); B = (1,94, –2,87) Bestimme die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Ellipse ell und der Geraden g. a) ell: 5 x2 + 3 y2 = 4; g: 2 x − y = 3 b) ell: x2 + 3 y2 = 12; g: x = 1 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Ellipse ell mit der ersten und der zweiten Mediane. a) ell: 3 x2 + 5 y2 = 12 b) ell: x2 + 4 y2 = 10 c) ell: 2 x2 + 7 y2 = 14 Lagebeziehung Hyperbel-Gerade Lagebeziehung Hyperbel Gerade Hat die Gerade keinen Punkt mit der Hyperbel gemeinsam, so ist sie eine Passante. Hat sie zwei Punkte gemeinsam, so ist sie eine Sekante. Haben Gerade und Hyperbel einen Punkt gemeinsam, so gibt es zwei mögliche Lagebeziehungen: 1. Die Gerade berührt die Hyperbel und ist eine Tangente. 2. Die Gerade ist parallel zu einer der Asymptoten und schneidet die Hyperbel in einem Punkt. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Hyperbel hyp: 3 x2 − 4 y 2 = 12und der Geraden g: x − y = 1. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. 1. Schritt: Zuerst drückt man eine Variable aus g aus und setzt diese in hyp ein: x = 1 + y ⇒ 3 (1 + y) 2 − 4 y 2 = 12 2. Schritt: Die so erhaltene quadratische Gleichung liefert den y-Wert des gemeinsamen Punktes: − y 2 + 6 y + 3 = 12 ⇒ y = 3 3. Schritt: Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man den x-Wert des Schnittpunktes: x = 4 ⇒ S = (4|3 ) 4. Schritt: Da die Hyperbel und die Gerade einen Punkt gemeinsam haben, kann die Gerade eine Tangente oder – falls sie die gleiche Steigung wie eine Asymptote hat – eine Sekante sein. Aus der Hyperbelgleichung erkennt man, dass a 2 = 4und b2 = 3gilt, also beträgt die Asymptotensteigung ± b _ a = ± 9 _ 3 _ 9 _ 4 = ± 0,87. Die Steigung von g beträgt 1. Die Gerade ist nicht parallel zu einer Asymptote. Die Gerade ist eine Tangente mit dem Schnittpunkt S = (4|3 ). 516 Technologie Ó Technologie Anleitung Schnittpunkte Gerade- Kegelschnitt jb25sd 517 518 Merke Muster 519 x y hyp Passante Sekante S1 S2 x y Asymptoten a2 a1 Sekante Tangente S T hyp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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