135 5.4 Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden Lernziele: º Die gegenseitige Lage von Kegelschnitt und Gerade ermitteln können (AG-L 5.2) º Die Lagebeziehung und den Schnittwinkel zwischen zwei Kegelschnitten ermitteln können In Kapitel 4 wurde schon gezeigt, wie man die Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade feststellt. Um die Lagebeziehung zwischen einem Kegelschnitt und einer Geraden zu bestimmen, geht man auf gleiche Weise vor: Man ermittelt die Schnittpunkte zwischen der Geraden und dem Kegelschnitt und schließt auf die Lagebeziehung. Lagebeziehung Ellipse-Gerade Lagebeziehung Ellipse-Gerade Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen: Je nach Anzahl der Schnittpunkte ist die Gerade eine Sekante, eine Tangente oder eine Passante. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Ellipse e ll: x2 + 2 y2 = 18und der Geraden g: x + 2 y = 6. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. 1. Schritt: Zuerst drückt man eine Variable aus der Geradengleichung aus und setzt diese in die Ellipsengleichung ein: x = 6 − 2 y ⇒ (6 − 2 y) 2 + 2 y2 = 18. 2. Schritt: Die quadratische Gleichung liefert die y-Werte der Schnittpunkte: 6 y 2 − 24 y + 18 = 0 ⇒ y 1 = 1; y2 = 3 3. Schritt: Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man die x-Werte der beiden Schnittpunkte: x1 = 6 − 2·1 = 4; x2 = 0 ⇒ S 1 = (4|1 ); S 2 = (0|3 ) Da es zwei Schnittpunkte gibt, ist die Gerade eine Sekante. Ermittle die Lagebeziehung zwischen der Ellipse ell und der Geraden g. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. a) ell: x2 + 5 y2 = 45; g: − x + 5 y = 15 d) ell: 2 x2 + 3 y2 = 5; g: y = 1 b) ell: 9 x2 + 25 y2 = 900; g: y = − 3 _ 5 x + 6 e) ell: x 2 + 5 y2 = 9; g: y = − x + 3 c) e ll: x2 + 2 y2 = 32; g: y = − x + 8 f) ell: 2 x2 + 7 y2 = 9;g: 2x +7y = 9 Bestimme die gemeinsamen Punkte der Ellipse e ll: x2 + 5 y2 = 45und der Geraden g: X = ( 5 2) + t · ( 2 − 1). 1. Schritt: Zuerst schreibt man die Gerade g koordinatenweise an: x = 5 + 2 t; y = 2 − t. 2. Schritt: Dann setzt man x und y in die Ellipsengleichung ein und berechnet den Parameter t: (5 + 2 t) 2 + 5 (2 − t) 2 = 45 ⇒ 9 t 2 + 45 = 45 ⇒ t 1, 2 = 0 3. Schritt: Da die quadratische Gleichung nur eine Lösung t = 0besitzt, gibt es nur einen gemeinsamen Punkt T. Diesen erhält man, indem man t in die Geradengleichung einsetzt: T = ( 5 2) + 0 · ( 2 − 1) = (5|2 ) Kompetenzen Merke Muster 513 514 Muster 515 x y Tangente Sekante Passante ell S2 S1 T Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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