131 Kegelschnitte > Die Hyperbel Die Bezeichnung „Hyperbel“ kommt auch als Stilmittel in der Literatur vor. a) Erkundige dich, um welches Stilmittel es sich dabei handelt und führe Beispiele an. b) Finde einen Zusammenhang zwischen der literarischen und der mathematischen Bedeutung des Begriffes „Hyperbel“. Der Name des Mathematikers „Apollonius von Perge“ wird dir bei der Suche behilflich sein. Asymptoten der Hyperbel Wenn man aus der Hyperbelgleichung y ausdrückt erhält man: b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇒ y 2 = b 2 x 2 _ a 2 − a 2 b 2 _ a 2 ⇒ y 2 = b 2 x 2 _ a 2 (1 − a 2 _ x 2 ) ⇒ y = ± b _ a x · 9 _ 1 − a 2 _ x 2 Für x → ± ∞geht der Term a 2 _ x 2 gegen 0 und der Wert der Wurzel gegen 1. Die y-Werte der Hyperbel nähern sich also zwei Geraden an. a 1: y = b _ a x; a2: y = − b _ a x Die Asymptoten der Hyperbel Die beiden Äste der Hyperbel nähern sich für x → ± ∞zwei Asymptoten an. a 1: y = b _ a x und a2: y = − b _ a x Bestimme die Gleichungen der beiden Asymptoten der Hyperbel hyp. a) h yp: 4 x2 − 9 y 2 = 36 c) hyp: x2 − 9 y 2 = 9 e) hyp: 9 x2 − 25 y 2 = 225 b) hyp: x 2 − y 2 = 1 d) hyp: 25 x2 − 16 y 2 = 400 f) hyp: 100 x 2 − 81 y 2 = 8100 Bestimme die Gleichungen der beiden Asymptoten der Hyperbel hyp. a) hyp: 4 x2 − 9 y 2 = 72 b) hyp: x2 − 9 y 2 = 36 c) hyp: x2 − y 2 = 2 d) hyp: 3 x2 − 12 y 2 = 48 Ein Schüler hat die Asymptote einer Hyperbel h yp: 4 x 2 − 9 y 2 = 12 ermittelt. Hier siehst du seine Rechnung: b 2 = 4 ⇒ b=±2;a2 = 9 ⇒ a = ± 3 Daher ist die Gleichung einer Asymptote: y = 2 _ 3 x. Begründe, ob diese Rechnung korrekt ist. Gib drei verschiedene Hyperbeln an, die die Gerade g als Asymptote haben und zeichne sie mit einer geeigneten Technologie. a) g: y = x b) g: y = 3 x c) g: y = 2 _ 3 x d) g: y = 3 _ 4 x Begründe, warum man aus der Gleichung einer Asymptote nicht eindeutig auf die Gleichung der passenden Hyperbel schließen kann. Kreuze alle Aussagen an, die auf die Hyperbel mit der Gleichung hyp: 5 x2 − 6 y 2 = 60 zutreffen. » 490 Ó Vertiefung Der Name der Hyperbel 67y6zb MerkeÓ Technologie Anleitung Asymptote ermitteln q333x6 491 492 493 494 495 496 x y hyp M C D F1 A B K a b F 2 a1 a2 A (9 _ 12 |0 ) liegt auf der Hyperbel. B Es gibt einen Punkt (0|a ) mit a ∈ ℝ, der auf der Hyperbel liegt. C Es gibt einen Punkt (a|0 ) mit a < 0, der auf der Hyperbel liegt. D Die Länge der kleinen Halbachse b beträgt 5. E g: y = 6 _ 5 xist eine Asymptote von hyp. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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