130 Kegelschnitte > Die Hyperbel 5 Die numerische Exzentrizität ε einer Hyperbel ist das Verhältnis aus linearer Exzentrizität und der Länge der großen Halbachse: ε = e _ a. a) Bestimme ein Intervall, das genau die möglichen Werte von ε umfasst. b) Hyperbeln mit gleicher numerischer Exzentrizität heißen zueinander ähnlich. Bestimme die Gleichungen dreier verschiedener Hyperbeln, die zueinander ähnlich sind und zeichne deren Graphen in ein Koordinatensystem. Lagebeziehung Punkt-Hyperbel Überprüfe, ob die Punkte P und Q auf der Hyperbel hyp liegen. a) hyp: 3 x2 − 5 y 2 = 7; P = (2|2 ); Q = (2|1 ) b) hyp: 4 x2 − 3 y 2 = 1; P = (1|1 ); Q = (− 1|1 ) Argumentiere geometrisch, dass der Punkt P nicht auf der Hyperbel hyp liegen kann. a) hyp: 4 x 2 + 16 y2 = 64; P = (3|0 ) b) hyp: 4 x2 + 16 y2 = 64; P = (0|2 ) Bestimme, wenn möglich, die fehlende Koordinate so, dass A auf der Hyperbel h yp: 4 x2 − 3 y 2 = 24liegt. a) A = (0|y ) b) A = (x|0) c) A = (2|y ) d) A = (x|− 3) e) A = (− 2|y ) Zeige: Wenn der Punkt P = (m|n ) auf einer Hyperbel liegt, dann liegen auch die Punkte mit den Koordinaten (− m|n ), (− m|− n) und (m|− n) auf der gleichen Hyperbel. Hyperbelparameter aus Punkten berechnen Bestimme die Gleichung der Hyperbel, die durch die Punkte P = (2|9 _ 5 ) und Q = (4|9 _ 35 )verläuft. Man setzt P und Q in die allgemeine Hyperbelgleichung ein, um ein Gleichungssywstem für a und b zu erhalten: I: 4 b2 − 5 a 2 = a 2 b 2; II: 16 b2 − 35 a 2 = a 2 b 2. Daraus folgt, dass a2 = 2und b 2 = 5. Die gesuchte Hyperbelgleichung lautet hyp: 5 x2 − 2 y 2 = 10. Bestimme die Gleichung der Hyperbel, die durch die Punkte P und Q verläuft. a) P = (2|3 ); Q = (1|0 ) c) P = (5|0 ); Q = (− 8|9 ) e) P = (− 2|3 ); Q = (3|2 ) b) P = (9 _ 2 |1 ); Q = (2|9 _ 3 ) d) P = (3|9 _ 2 ); Q = (6|9 _ 11 ) f) P = (1|1 ); Q = (3|5 ) Bestimme die Gleichung der Hyperbel hyp, die durch den Punkt P = (4|6 ) verläuft und in F 1 = (4|0 ) einen Brennpunkt hat. Mit Hilfe der Definition der Hyperbel |F 2 P − F 1 P| = 2 a, kann man den Parameter a bestimmen. Die Koordinaten von F2lauten aus Symmetriegründen F2 = (− 4|0 ). Nun bestimmet man aus den Vektoren ⎯ ⇀F 1 Pund ⎯ ⇀F 2 Pdie Längen F1 P u n d F 2 P. ⎯ ⇀F 2 P = ( 8 6) ⇒ | ⎯ ⇀F 2 P| = F 2 P = 9 _ 100= 10 ; ⎯ ⇀F 1 P = ( 0 6) ⇒ | ⎯ ⇀F 1 P| = F 1 P = 6 Eingesetzt in |F 2 P − F 1 P| = 2 aerhält man den Wert des Parameters a: |10 − 6| = 4 = 2 a ⇒ a = 2. Aus e = 4folgt für b: b = 9 _e 2 − a 2 = 9 _ 12 . Die Hyperbelgleichung lautet daher: hyp: 12 x2 − 4 y 2 = 48 ⇒ 3 x 2 − y 2 = 12. F ist ein Brennpunkt und P ein Punkt der Hyperbel. Bestimme ihre Gleichung. a) F = (− 4|0 ); P = (3|0 ) c) F = (5|0 ); P = (− 4|3 ) e) F = (7|0 ); P = (5|6 ) b) F = (− 100|0 ); P = (50|0 ) d) F = (23|0 ); P = (45|50) f) F = (− 56|0 ); P = (100|100) 481 482 483 484 485 Muster 486 Ó Technologie Anleitung Hyperbelparameter ermitteln 2 874pr7 487 Muster 488 Ó Technologie Anleitung Hyperbelparameter ermitteln 3 6gc5qf 489 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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