130 Kegelschnitte > Die Hyperbel 5 Die numerische Exzentrizität ε einer Hyperbel ist das Verhältnis aus linearer Exzentrizität und der Länge der großen Halbachse: ε = e _ a. a) Bestimme ein Intervall, das genau die möglichen Werte von ε umfasst. b) Hyperbeln mit gleicher numerischer Exzentrizität heißen zueinander ähnlich. Bestimme die Gleichungen dreier verschiedener Hyperbeln, die zueinander ähnlich sind und zeichne deren Graphen in ein Koordinatensystem. Lagebeziehung Punkt-Hyperbel Überprüfe, ob die Punkte P und Q auf der Hyperbel hyp liegen. a) hyp: 3 x2 − 5 y 2 = 7; P = (2 | 2); Q = (2 | 1) b) hyp: 4 x2 − 3 y 2 = 1; P = (1 | 1); Q = (− 1 | 1) Argumentiere geometrisch, dass der Punkt P nicht auf der Hyperbel hyp liegen kann. a) hyp: 4 x2 + 16 y2 = 64; P = (3 | 0) b) hyp: 4 x2 + 16 y2 = 64; P = (0 | 2) Bestimme, wenn möglich, die fehlende Koordinate so, dass A auf der Hyperbel hyp: 4 x2 − 3 y 2 = 24liegt. a) A = (0 | y) b) A = (x | 0) c) A = (2 | y) d) A = (x | − 3) e) A = (− 2 | y) Zeige: Wenn der Punkt P = (m | n) auf einer Hyperbel liegt, dann liegen auch die Punkte mit den Koordinaten (− m | n), (− m | − n) und (m | − n) auf der gleichen Hyperbel. Hyperbelparameter aus Punkten berechnen Bestimme die Gleichung der Hyperbel, die durch die Punkte P = (2 | 9 _ 5 ) und Q = (4 | 9 _ 35 )verläuft. Man setzt P und Q in die allgemeine Hyperbelgleichung ein, um ein Gleichungssywstem für a und b zu erhalten: I: 4 b2 − 5 a 2 = a 2 b 2; II: 16 b2 − 35 a 2 = a 2 b 2. Daraus folgt, dass a2 = 2und b 2 = 5. Die gesuchte Hyperbelgleichung lautet hyp: 5 x2 − 2 y 2 = 10. Bestimme die Gleichung der Hyperbel, die durch die Punkte P und Q verläuft. a) P = (2 | 3); Q = (1 | 0) c) P = (5 | 0); Q = (− 8 | 9) e) P = (− 2 | 3); Q = (3 | 2) b) P = (9 _ 2 | 1); Q = (2 | 9 _ 3 ) d) P = (3 | 9 _ 2 ); Q = (6 | 9 _ 11 ) f) P = (1 | 1); Q = (3 | 5) Bestimme die Gleichung der Hyperbel hyp, die durch den Punkt P = (4 | 6) verläuft und in F 1 = (4|0 ) einen Brennpunkt hat. Mit Hilfe der Definition der Hyperbel |F 2 P − F 1 P| = 2 a, kann man den Parameter a bestimmen. Die Koordinaten von F 2lauten aus Symmetriegründen F2 = (− 4 | 0). Nun bestimmet man aus den Vektoren ⎯ ⇀F 1 Pund ⎯ ⇀F 2 Pdie Längen F1 P u n d F 2 P. ⎯ ⇀F 2 P = ( 8 6) ⇒ | ⎯ ⇀F 2 P| = F 2 P = 9 _ 100= 10 ; ⎯ ⇀F 1 P = ( 0 6) ⇒ | ⎯ ⇀F 1 P| = F 1 P = 6 Eingesetzt in |F 2 P − F 1 P| = 2 aerhält man den Wert des Parameters a: |10 − 6| = 4 = 2 a ⇒ a = 2. Aus e = 4folgt für b: b = 9 _e 2 − a 2 = 9 _ 12 . Die Hyperbelgleichung lautet daher: h yp: 12 x2 − 4 y 2 = 48 ⇒ 3 x 2 − y 2 = 12. F ist ein Brennpunkt und P ein Punkt der Hyperbel. Bestimme ihre Gleichung. a) F = (− 4 | 0); P = (3 |0 ) c) F = (5 | 0); P = (− 4 | 3) e) F = (7 | 0); P = (5 | 6) b) F = (− 100 | 0); P = (50 | 0) d) F = (23 | 0); P = (45 | 50) f) F = (− 56 | 0); P = (100 | 100) 481 482 483 484 485 Muster 486 Ó Technologie Anleitung Hyperbelparameter ermitteln 2 874pr7 487 Muster 488 Ó Technologie Anleitung Hyperbelparameter ermitteln 3 6gc5qf 489 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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