13 Gleichungen höheren Grades > Polynomdivision Bestimme die Lösungen der Gleichung x 3 + 6 x2 − x − 30 = 0in ℝ. Zerlege dazu den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. Das konstante Glied − 30hat die Teilermenge T = {± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30}. Diese Zahlen kommen als ganzzahlige Lösungen der Gleichung in Frage. Durch Probieren ergibt sich z.B. x1= 2als eine Lösung, denn 2 3 + 6·22 − 2 − 30 = 0. Mittels einer Polynomdivision kann der Linearfaktor (x − 2)abgespalten werden: (x 3 + 6 x2 − x − 30) : (x − 2) = x 2 + 8 x + 15 − x 3 + 2 x2 8 x 2 − x − 8 x 2 + 16 x 15 x − 30 − 15 x − 30 0 Rest Es gilt also: x 3 + 6 x2 − x − 30 = (x 2 + 8 x + 15) · (x − 2) = 0 Man wendet den Produkt-Null-Satz an: x 2 +8x+15=0 → x 2 = − 5 x 3 = − 3 Die Lösungsmenge der Gleichung lautet L = {− 5; − 3; 2}. Abspalten eines Linearfaktors Kennt man von einer Gleichung der Form p (x) = 0(p ist ein Polynom n-ten Grades, n > 1) die Lösung x 1, kann p(x) durch den Faktor (x − x 1) dividiert werden. Dadurch entsteht ein Polynom vom Grad (n − 1). Man sagt: Der Linearfaktor (x − x 1)wird abgespalten. Löse die Gleichung in ℝ durch Abspalten eines Linearfaktors. a) x 3 − 5 x 2 + 17 x − 13 = 0 c) x 3 − 6 x 2 + 18 x − 40 = 0 e) x 3 − 7 x 2 + 12 x + 20 = 0 b) x 3 + x 2 + 4 x + 30 = 0 d) x 3 − 5 x 2 − 7x+51=0 f) x 3 + x 2 − 7x+65=0 Löse die Gleichung in ℝ und zerlege den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 5 x 3 − 4 x 2 − 11 x − 2 = 0 c) 8 x 3 + 22 x2 − 7 x − 3 = 0 e) x 4 + 9 x3 + 23 x2 + 3 x − 36 = 0 b) 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x = 0 d) x 3 + x 2 − x − 1 = 0 f) x 4 − 8 x 3 + 24 x2 − 32 x + 16 = 0 Löse die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. a) x 3 + x 2 − x − 1 = 0 d) x 3 − 13 x + 12 = 0 g) x 4 − 9 x 2 − 4 x + 12 = 0 b) x 3 − x 2 − 100 = 0 e) x 3 − 6 x 2 − 14 x + 104 = 0 h) x 4 − x 3 − 21 x 2 + 45 x = 0 c) 5 x 3 − 10 x 2 + x − 2 = 0 f) 2 x 3 − 14 x − 12 = 0 i) x 4 − x 3 − 33 x 2 − 63 x = 0 Beim Lösen algebraischer Gleichungen können gleiche Lösungen auftreten. In diesem Fall spricht man von Mehrfachlösungen. Die Gleichung x3 − x 2 − 21 x + 45 = 0hat die Lösungen x 1 = x 2 = − 5(Doppellösung der Gleichung) und x 3 = 3. Die Gleichung dritten Grades hat zwei (unterschiedliche) Lösungen. Für die Linearfaktorzerlegung des Terms gilt: x 3 − x 2 − 21 x + 45 = (x + 5) (x + 5) (x − 3) = (x + 5) 2 (x − 3) Wie viele (unterschiedliche) Lösungen hat die Gleichung? Gib auch deren Vielfachheit an. a) 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 c) x 3 + 9 x2 +27x+27=0 b) 2 x 3 + 7 x2 + 4 x − 4 = 0 d) x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x + 9 = 0 Gib den Grad der Gleichung, die Lösungen und deren Vielfachheit an. a) (x − 3) 2 (x + 5) = 0 c) (x + 4) 2 (x − 4) 2 = 0 e) x 2 (x − 1) (x + 8) = 0 b) (5 x + 1) 3 = 0 d) (2 x − 1) 5 = 0 f) x (x + 2) 2 (x − 3) 3 = 0 Gib eine Gleichung vom Grad 3 an, die a) genau eine Lösung b) genau zwei Lösungen c) genau drei verschiedene Lösungen besitzt. Muster 25 Ó Arbeitsblatt Polynomdivision gt484z Merke t 26 27 28 29 t 30 t 31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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