129 Kegelschnitte > Die Hyperbel Von einer Hyperbel hyp sind der Hauptscheitel A = (− 4|0 ) und der Brennpunkt F = (8|0 ) gegeben. Ermittle die Gleichung dieser Hyperbel. Aus den x-Koordinaten von A und F kann man a und e ablesen und damit b berechnen: a = 4; e = 8 ⇒ b 2 = e 2 − a 2 = 64 − 16 = 48 hyp: 48 x2 − 16 y 2 = 768 :16 ⇒ hyp: 3 x2 − y 2 = 48 A und B sind die Hauptscheitel, C und D die Nebenscheitel und F ist ein Brennpunkt der Hyperbel. Bestimme die Gleichung der Hyperbel hyp. a) hyp: A = (− 10|0 ); C = (0|5 ) c) hyp: F = (− 5|0 ); C = (0|3 ) b) hyp: B = (6|0 ); D = (0|− 4) d) hyp: A = (5|0 ); F = (4|0 ) Ermittle die Brennweite und die Gleichung der Hyperbel hyp mit Hilfe der Maße aus der Abbildung. a) x y 2 4 6 8 –8 –4 2 4 6 –6 –4 0 F1 hyp F2 b) x y 2 4 6 8 –8 –4 2 4 6 –6 –4 0 F1 hyp F2 c) x y 2 4 6 8 –8 –4 2 4 6 –6 –4 0 F1 hyp F2 Gleichung der Hyperbel ermitteln Geogebra: Hyperbel(Brennpunkt, Brennpunkt, Punkt) Hyperbel((–3,0),(3,0),(2,1)) 89,69 x2 – 54,31 y2 = 304,44 Bestimme die Parameter a, b und e der Hyperbel h yp: 6 x 2 − 4 y 2 = 18. Um die Parameter a und b bestimmen zu können, bringt man die Hyperbelgleichung auf die Form x 2 _ a 2 − y 2 _ b 2 = 1: 6 x 2 _ 18 − 4 y 2 _ 18 = 1 ⇒ x 2 _ 3 − 2 y 2 _ 9 = 1 ⇒ x 2 _ 3 − y 2 _ 9 _ 2 = 1 ⇒ a = 9 _ 3;b=9 _ 9 _ 2 Daraus kann man die Brennweite e berechnen: e 2 = a 2 + b 2 = 3 + 9 _ 2 = 7,5 ⇒ e = 9 _ 7,5 Bestimme die Parameter a, b und e der Hyperbel hyp. a) hyp: 3 x 2 − 5 y 2 = 30 c) hyp: x2 − 7 y 2 = 21 e) hyp: x 2 − y 2 = 15 b) hyp: 2 x2 − 7 y 2 = 14 d) hyp: 4 x2 − 5 y 2 = 40 f) hyp: 8 x2 − y 2 = 50 Kreuze jeweils an, ob die angegebene Gleichung einem Kreis, einer Ellipse in 1. HL oder einer Hyperbel in 1. Hauptlage entspricht. Kreis Ellipse Hyperbe® keine der angegebenen Figuren A x2 + 3 y2 = 2 B x2 – y2 = 5 C x2 + y2 + 4 = 0 D 4 x2 – 5 y2 = 2 E 2 x2 = ‒ 3 y2 + 8 F x2 = y2 + 14 Muster 475 476 477 Technologie Ó Technologie Anleitung Hyperbelgleichung ermitteln fp4xx8 Muster 478 Ó Technologie Anleitung Hyperbelparameter ermitteln 1 6kf7zi 479 480 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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