128 Kegelschnitte > Die Hyperbel 5 Die Nebenscheitel C und D liegen nicht auf der Hyperbel. Sie werden durch das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten a, b und e festgelegt. Daraus lässt sich die folgende Beziehung zwischen den Größen a, b und e der Hyperbel aus nebenstehender Abbildung ableiten. Zusammenhang zwischen den Hyperbelparametern Für die Hyperbel gilt: e2 = a 2 + b 2. Berechne jeweils den fehlenden Hyperbelparameter a, b oder e. a) a = 5; b = 4 b) e = 10; a = 7 c) b = 2; e = 6 d) e = 17,3; b = 6,8 Konstruktion einer Hyperbel Gegeben sind die beiden Brennpunkte einer Hyperbel. Man trägt eine Strecke 2 a auf. 2 a muss kürzer sein als der Abstand zwischen F1 und F2. Die Strecke 2 a verlängert man nun um eine beliebige Strecke d . Die Strecke 2 a + dnimmt man als Radius für einen Kreis (k1) mit Mittelpunkt in F1. Die Strecke d nimmt man als Radius für einen Kreis (k2) mit Mittelpunkt in F2. Die Schnittpunkte dieser Kreise (X1 und X2) sind Punkte der Hyperbel hyp. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens, sowohl von F 1 als auch von F2 aus, mit verändertem Streckenteil d, erhält man weitere Punkte der Hyperbel. Konstruiere die Hyperbel hyp mit den Brennpunkten F1 und F2 und der Hilfsstrecke 2 a (in cm). a) F 1 = (− 3|0 ); F 2 = (3|0 ); a = 2 c) F 1 = (− 4|0 ); F 2 = (4|0 ); a = 1 b) F 1 = (− 5|0 ); F 2 = (5|0 ); a = 3 Die Hyperbelgleichung Im Folgenden werden ausschließlich Hyperbeln betrachtet, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung M = (0|0 ) und deren große Halbachse a auf der x-Achse des Koordinatensystems liegt. Die Lage einer solchen Hyperbel nennt man 1. Hauptlage. Aus der Definition der Hyperbel erhält man durch Berechnung die Hyperbelgleichung (siehe S. 271). Gleichung der Hyperbel Ein Punkt P = (x|y ) liegt auf der Hyperbel hyp, wenn seine Koordinaten die folgende Gleichung erfüllen: hyp: b2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 − y 2 _ b 2 = 1. a: Länge große Halbachse b: Länge kleine Halbachse Bestimme die Gleichung der Hyperbel hyp aus den angegebenen Parametern. a) a = 7; b = 5 b) e = 9; b = 6 c) a = 5; e = 7 d) e = 12; b = 9 Bestimme die Parameter a, b und e aus der Hyperbelgleichung. a) 9 x 2 − 16 y 2 = 144 b) x 2 − 10 y 2 = 10 c) 49 x 2 − 36 y 2 = 1764 d) x 2 − y 2 = 1 Merke 471 Ó Arbeitsblatt Parameter einer Hyperbel ermitteln j6p8p6 472 Merke 473 474 Ó Arbeitsblatt Gleichung einer Hyperbel ermitteln w3wk5i x y hyp M D C F1 A B a e b b F2 x hyp 2 a + d 2 a d k1 k2 X2 X1 F2 F 1 x y hyp M(0 1 0) X = (x 1 y) C F1 a b F 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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