127 5.2 Die Hyperbel Lernziele: º Die Eigenschaften der Hyperbel kennen º Kegelschnitte in der Ebene durch Gleichungen beschreiben können; […] (AG-L 5.1) Ändert man die Definition der Ellipse nur in einem Wort ab, so erhält man die Definition der Hyperbel. Definition Ellipse: Die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist. Definition Hyperbel: Die Menge aller Punkte, für die die Längenunterschiede der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant sind. Alle Punkte mit dieser Eigenschaft bilden die zwei Äste einer Hyperbel. Bezeichnungen in einer Hyperbel – Die Punkte A und B der Hyperbel heißen Hauptscheitel. Ihr Abstand vom Mittelpunkt M beträgt a. – a wird große Halbachse genannt. – Die Punkte F1und F2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt. Ihr Abstand zum Mittelpunkt beträgt e. – e wird lineare Exzentrizität (Brennweite) genannt. Da der Hauptscheitel A auf der Hyperbel liegt, muss auch für ihn gelten, dass der Betrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant ist: |F 2 A − F 1 A| = konstant In der Abbildung kann man erkennen, dass für diese beiden Strecken Folgendes gilt: F 2 A= e + a und F1 A = e − a Daher ist die Differenz der Abstände F 2 A − F 1 A = (e + a) − (e − a) = 2 a. Für den zweiten Ast der Hyperbel gilt analog: F 2 B − F 1 B = (e − a) − (e + a) = − 2 a. Definition der Hyperbel Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X in einer Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten F 1und F2konstant ist: |F 2 X − F 1 X| = 2 a. Lies aus der Abbildung die Koordinaten von drei Punkten der Hyperbel ab und überprüfe den Zusammenhang: |F 2 X − F 1 X| = 2 a a) x y 2 4 6 –6 –4 –2 4 8 –8 –4 0 F1 hyp F2 b) x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 F1 hyp F2 c) x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 F1 hyp F2 Kompetenzen Merke Merke 470 x y Äste der Hyperbel F M 1 F1X F2X X A hyp B a e F2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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