125 Kegelschnitte > Die Ellipse Lagebeziehung Punkt-Ellipse Überprüfe, ob der Punkt P = (− 1|1 )auf der Ellipse ell: 3 x2 + 5 y2 = 15liegt. Wenn P auf ell liegt, dann müssen seine Koordinaten die Ellipsengleichung erfüllen: 3 · (− 1) 2 + 5 · (1) 2 = 8 ≠ 15 ⇒ P ∉ ell Überprüfe, ob die Punkte P und Q auf der Ellipse ell liegen. a) P = (2|− 3); Q = (2|− 1); ell: x2 + 3 y2 = 7 b) P = (0|9 _ 3 ); Q = (3|0 ); ell: x2 + 3 y2 = 9 A liegt auf der Ellipse e ll: 2 x2 + 4 y2 = 27. Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes A. a) A = (0|y ) b) A = (x|0) c) A = (1|y ) d) A = (x|− 2) e) A = (− 2|y ) Bestimme die Koordinaten von fünf Punkten, die auf der Ellipse ell liegen. a) e ll: x2 + 4 y2 = 20 b) ell: 3 x 2 + 5 y2 = 16 c) ell: 2 x2 + 7 y2 = 17 a) Zeige: Wenn der Punkt P = (m|n ) auf einer Ellipse liegt, dann liegen auch die Punkte mit den Koordinaten (− m|n ), (− m|− n) und (m|− n) auf dieser Ellipse. b) Kann man um jedes Rechteck eine Ellipse so legen, dass die Ellipse das Rechteck in allen vier Eckpunkten berührt? Argumentiere deine Antwort. Ellipsengleichung aus Punkten ermitteln Ermittle die Gleichung der Ellipse ell, die durch den Punkt P = (4|6 ) verläuft und den Brennpunkt F1 = (− 4|0 )besitzt. Da für jede Ellipse mit P ∈ ell F 1 P + F 2 P= 2 agilt, kann man aus F1, F 2 und P den Parameter a ermitteln. Aus F 2 = (4|0 ) folgt: | ⎯ ⇀F 1 P| + | ⎯ ⇀F 2 P| = 2 a ⇒ |( 8 6)| + |( 0 6)| =10+6=16=2a ⇒ a = 8. Aus e = 4folgt: b2 = a 2 − e 2 = 64 − 16 = 48 ⇒ ell: 48 x2 + 64 y2 = 3 072 :16 ⇒ ell: 3 x 2 + 4 y2 = 192 Ermittle die Gleichung der Ellipse ell, die durch P verläuft und den Brennpunkt F besitzt. a) F = (5|0 ); P = (6|2 ) c) F = (− 4|0 ); P = (− 4|− 6) e) F = (3|0 ); P = (3|3 ) b) F = (− 3|0 ); P = (4|1 ) d) F = (10|0 ); P = (9|2 ) f) F = (− 8|0 ); P = (6|5 ) Begründe deine Antwort: Gibt es zu jeder beliebigen Angabe zweier Brennpunkte und eines Punktes P eine passende Ellipse mit a , b > 0, sodass P auf der Ellipse liegt? Bestimme die Gleichung der Ellipse, die durch die Punkte P = (2|9 _ 3 ) und Q = (9 _ 2 |2 )verläuft. P und Q werden in die allgemeine Ellipsengleichung eingesetzt, um ein Gleichungssystem für a und b zu erhalten: I: 4b 2 + 3 a2 = a 2 b 2; II: 2 b 2 + 4 a2 = a 2 b 2. Man löst das erhaltene Gleichungssystem und erhält: 5 = b2und a2 = 10. Die gesuchte Ellipsengleichung lautet ell: 5 x2 + 10 y2 = 50. Bestimme die Gleichung der Ellipse, die durch die Punkte P und Q verläuft. a) P = (1|3 ); Q = (2|9 _ 7 ) c) P = (2|4 ); Q = (9 _ 19 |2 ) e) P = (2|3 ); Q = (9 _ 11 |2 ) b) P = (2|9 _ 2 ); Q = (4|1 ) d) P = (5|1 ); Q = (4|9 _ 6 ) f) P = (9 _ 5 |9 _ 3 ); Q = (9 _ 3 |9 _ 5 ) Muster 454 455 456 457 458 Muster 459 Ó Technologie Anleitung Ellipsenparameter bestimmen 2 wg2ta5 460 461 Muster 462 Ó Technologie Anleitung Ellipsenparameter bestimmen 3 4b9xd7 463 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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