123 Kegelschnitte > Die Ellipse Konstruiere die Ellipse mit den Brennpunkten F 1und F2 und der Hilfsstrecke 2 a. Alle Angaben sind in cm. a) F 1 = (− 3 | 0); F 2 = (3 | 0); a = 7 c) F 1 = (− 1 | 0); F 2 = (1 | 0); a = 4 b) F 1 = (− 1 | 0); F 2 = (1 | 0); a = 7 d) F 1 = (− 3 | 0); F 2 = (3 | 0); a = 4 Die Ellipsengleichung Im Folgenden werden ausschließlich Ellipsen betrachtet, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung M = (0 | 0) und deren große Halbachse a auf der x-Achse des Koordinatensystems liegt. Die Lage einer solchen Ellipse nennt man 1. Hauptlage. Es gilt immer a > b. Aus der Definition der Ellipse erhält man durch Berechnung die Ellipsengleichung (siehe Anhang Beweise S. 271). Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage Ein Punkt P = (x | y) liegt auf der Ellipse ell, wenn seine Koordinaten die folgende Gleichung erfüllen: ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 a: Länge der großen Halbachse b: Länge der kleinen Halbachse Von einer Ellipse ell sind die Koordinaten des Hauptscheitels A = (− 4 | 0) und des Brennpunktes F = (3 | 0) gegeben. Bestimme die Gleichung der Ellipse. Um die Ellipsengleichung angeben zu können, benötigt man die Parameter a und b. a kann man direkt aus der x-Koordinate des Hauptscheitels A ablesen: a = 4. Aus der x-Koordinate des Brennpunktes F kann man e bestimmen: e = 3. Für b 2erhält man aus a2 − b 2 = e 2die Beziehung b2 = a 2 − e 2 = 16 − 9 = 7. Setzt man nun a2und b2in die allgemeine Ellipsengleichung b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ein, so erhält man die gesuchte Gleichung der Ellipse e ll: 7x2 + 16 y2 = 112. Bestimme die Gleichung der Ellipse ell aus den angegebenen Parametern. a) a = 10; b = 5 c) e = 5; b = 6 e) a = 12; e = 4 g) e = 7; b = 6 b) b = 4; e = 4 d) a = 9; e = 7 f) a = 9; b = 4 h) a = 2; b = 1 A und B sind die Hauptscheitel, C und D die Nebenscheitel und F ist ein Brennpunkt einer Ellipse. Bestimme die Gleichung der Ellipse ell. a) ell: A = (− 10 | 0); C = (0 | 5) c) ell: F = (− 5 | 0); C = (0 | 3) e) ell: D = (0 | − 4); A = (− 12 | 0) b) ell: B = (6 | 0); D = (0 | − 4) d) ell: A = (− 8 | 0); F = (− 4 | 0) f) ell: F = (7 | 0); B = (8 | 0) Bestimme die Parameter a, b und e aus der Ellipsengleichung. a) 9 x 2 + 16 y2 = 144 b) x 2 + 13 y2 = 13 c) 25 x 2 + 49 y2 = 1 225 d) 4 x 2 + 4 y2 = 16 Gleichung der Ellipse ermitteln Geogebra: Ellipse(Brennpunkt, Brennpunkt, Punkt) Ellipse((–3,0),(3,0),(2,1)) 443 Merke Ellipse in 1. Hauptlage M(0 1 0) X = (x 1 y) a b A B D C y x Muster 444 445 446 447 Technologie Ó Technologie Anleitung Gleichung der Ellipse 24su3m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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