122 Kegelschnitte > Die Ellipse 5 Definition der Ellipse Die Ellipse ist die Menge aller Punkte X in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F1und F2konstant ist: F1 X + F 2 X= 2 a. Lies aus der nebenstehenden Abbildung der Ellipse ell die Länge der großen Halbachse a und die Koordinaten von fünf Punkten der Ellipse ab. Überprüfe damit den Zusammenhang F1 X + F 2 X= 2 a. Da der Nebenscheitel C auch auf der Ellipse liegt, muss für ihn auch die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten 2 a betragen. Die beiden Abstände sind aus Symmetriegründen gleich und es gilt für einen Abstand F1 C= a. Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich eine Beziehung zwischen den Größen a, b und e ableiten. Zusammenhang zwischen den Größen a, b und e der Ellipse e 2 = a 2 − b 2 (gilt nur für Ellipsen mit a > b) Berechne jeweils den fehlenden Ellipsenparameter a, b oder e. a) a = 5; b = 4 b) e = 3; a = 7 c) b = 2; e = 3 d) e = 12,1; b = 12 Bestimme mit Hilfe der Maße aus der Abbildung die Länge der Brennweite e der Ellipse und zeichne die beiden Brennpunkte in die Abbildung ein. a) x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 ell b) x y 4 8 12 –12 –8 –4 4 8 –8 –4 0 ell c) x y 4 8 –8 –4 4 –4 0 ell Konstruktion einer Ellipse Um eine Ellipse mit der großen Halbachse a zu konstruieren, zeichnet man zuerst eine Strecke mit der Länge 2 a. 2 a muss größer sein als der Abstand zwischen F1und F2. Einen beliebigen Teil der Strecke (bezeichnet mit x) verwendet man als Radius für einen Kreis (k1) mit Mittelpunkt in F1. Den restlichen Teil der Strecke (2 a − x) nimmt man als Radius für einen Kreis (k2) mit Mittelpunkt in F2. Die Schnittpunkte dieser Kreise (X1und X2) sind Punkte der Ellipse ell. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens mit verändertem Streckenteil x erhält man weitere Punkte der Ellipse. Merke 440 Merke 441 442 Ó Arbeitsblatt Parameter einer Ellipse bestimmen d2y26w x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 e®® F1 F2 e®® e M b A B F1 F1C = a F2 D y C x x y e®® 2 a 2 a – x x k1 k2 X2 X1 F2 F 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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