121 5.1 Die Ellipse Lernziele: º Die Eigenschaften von Ellipsen kennen º Kegelschnitte in der Ebene durch Gleichungen beschreiben können; […] (AG-L 5.1) Die sogenannte Gärtnerellipse verdeutlicht sehr anschaulich, wie eine Ellipse konstruiert wird und welche wesentlichen Eigenschaften sie hat. Eine Schnur von bestimmter Länge wird an beiden Enden an zwei Pflöcken befestigt. Geht man nun mit gespannter Schnur, wie in der Abbildung dargestellt, um die Pflöcke herum, so beschreibt man eine Ellipse. Die Punkte der Ellipse sind also all jene Punkte X, für die die Summe der Abstände von den zwei Pflöcken (die Brennpunkte F1und F2 der Ellipse) einen konstanten Wert (die Länge der Schnur) ergibt. Es gilt daher F 1 X + F 2 X= const. für alle X * ell. Bezeichnungen in einer Ellipse – A und B sind die Hauptscheitel der Ellipse. Ihr Abstand vom Mittelpunkt M beträgt a. – a wird große Halbachse genannt. – C und D sind die Nebenscheitel der Ellipse. Ihr Abstand vom Mittelpunkt M beträgt b. – b wird kleine Halbachse genannt. – F 1und F2sind die Brennpunkte der Ellipse. Ihr Abstand zum Mittelpunkt beträgt e. – e wird lineare Exzentrizität (Brennweite) genannt. 1) Lies aus der dargestellten Ellipse die Länge der großen Halbachse a, die Länge der kleinen Halbachse b und der Brennweite e und die Koordinaten der Haupt- und Nebenscheitel ab. 2) Überprüfe an den Haupt- und Nebenscheiteln, dass gilt: F 1 X + F 2 X= const. a) x y 4 8 12 –12 –8 –4 8 16 e®® F1 F2 –16 –8 0 b) x y 1 2 –2 –1 1 –1 0 e®® F1 F2 c) x y 2 4 –4 –2 2 –2 0 e®® F1 F2 Da der Hauptscheitel B auf der Ellipse liegt, muss auch für ihn gelten, dass die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant ist: F1 B + F 2 B= const. In der Abbildung kann man erkennen, dass für diese beiden Strecken Folgendes gilt: F 2 B = a − eund F1 B= e + a. Daher ist die Summe der Abstände: F 2 B + F 1 B = (a − e) + (e + a) = 2 a. Kompetenzen Ó Technologie Darstellung Gärtnerellipse ap3q5s MerkeÓ Technologie Darstellung Parameter der Ellipse v7v46c 439 Ó Arbeitsblatt Parameter der Ellipse ablesen 86gu79 Ellipse e®® e M a b A F 1 F1X F 2X F2 X y x B D C e®® e M a A F 1 F2 B D C y x b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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