120 5 Kegelschnitte Die spezie®®en Eigenschaften der Kege®schnitte werden in vie®en technischen Anwendungen ausgenützt. Einige davon wirst du in diesem Kapite® kennen ®ernen. Besondere Bedeutung haben die Kege®schnitte für die Astronomie und für die Entwick®ung unseres We®tbi®des. Das tausende Jahre vorherrschende geozentrische We®tbi®d beinha®tete auch die „Gewissheit“, dass die gött®iche Sphäre (der Himme®) nur perfekte geometrische Objekte entha®ten kann: Kreise und Kuge®n. A®s Johannes Kep®er 1609 herausfand, dass P®aneten sich nicht auf perfekten Kreisbahnen, sondern auf E®®ipsenbahnen bewegen, war das ein entscheidender Schritt weg vom geozentrischen Weltbild hin zum heliozentrischen Weltbild. Kege®schnitte können Großes bewirken! Mond Erde Venus Sonne Mars Hey Erde, Kep®er meint wir so®®en tauschen!! Durch die A®gebraisierung der Geometrie können geometrische Objekte auch a®s Lösungen von G®eichungen interpretiert werden. A®®e Geraden in einer Ebene sind zum Beispie® die Lösungen von ®inearen G®eichungen mit zwei Variab®en (x und y), die fo®gende Form haben: a x + b y + c = 0. Betrachtet man a®s nächsten Schritt die Lösungen von quadratischen G®eichungen mit zwei Variab®en, die die Form a x2 + b y2 + c x y + d x + e y + f = 0 haben, so erhä®t man die Kege®schnitte. Du kannst in der On®ineergänzung se®ber Kege®schnitte in verschiedenen Lagen erzeugen, indem du die Parameter a bis f in der G®eichung variierst. A®s Kege®schnitte bezeichnet man die Linien, die entstehen, wenn eine Ebene einen Doppe®kege® schneidet. Je nach Schnittwinke® entstehen Kreise, E®®ipsen, Hyperbe®n oder Parabe®n. Jeder Punkt auf der Kurve ist eine Lösung der entsprechenden Gleichung x y 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 3 x2 + 5 y2 + 4 x y + + 7 y – 3 y – 10 = 0 – 5 y2 + 7 x – 10 = 0 – 7 x + 3 y – 10 = 0 3 x2 – 5 y2 + 4 x y + + 7 y – 3 y – 10 = 0 Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Techno®ogie Darste®®ung Variation der Parameter von quadratischen imp®iziten Funktionen 23vh5t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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