12 Gleichungen höheren Grades > Polynomdivision 1 Polynomdivision Bei der Polynomdivision dividiert man nicht nur Zahlen, sondern ganze Terme. Die Vorgangsweise ist dieselbe wie bei der Division natürlicher Zahlen. Division von Zahlen Polynomdivision 2772 : 12 = 2,da 27 : 12 = 2 (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2, da x3 : x = x 2 2772 : 12 = 2 − 24 Das Produkt 2 ·12von 27 subtrahieren. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 − (x 3 + 3 x2) Das Produkt (x + 3) · x 2 von x 3 + 4 x2 + 2 x − 3subtrahieren. 2772 : 12 = 2 − 24 37 Nach der Subtraktion die nächste Ziffer anschreiben. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x S ubtrahieren und den nächsten Term anschreiben. 2772 : 12 = 23, da 37 : 12 = 3 − 24 37 (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x, da x2 : x = x − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x 2772 : 12 = 23 − 24 37 − 36 Zurückmultiplizieren und subtrahieren. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x − (x 2 + 3 x) Das Produkt x · (x + 3) von x 2 + 2 xsubtrahieren. 2772 : 12 = 231 − 24 37 − 36 12 − 12 0 Rest Die beschriebenen Verfahren noch einmal anwenden und die Division abschließen. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x − 1 − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x − (x 2 + 3 x) − x − 3 − (− x − 3) 0 Rest Die Polynomdivision kann verwendet werden, um durch Abspalten eines linearen Faktors den Grad einer algebraischen Gleichung um 1 zu verringern. Betrachtet man zum Beispiel die Gleichung x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = 0mit den Lösungen x 1 = 1, x 2= 3und x3 = 5, so lässt sich diese in der Form (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) = 0anschreiben. Es ist dann: x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) Dividiert man die Gleichung nun beispielsweise durch (x − 5)erhält man: x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) | : (x − 5) (x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15) : (x − 5) = (x − 1) · (x − 3) Man sagt: Der lineare Faktor (x − 5) wird abgespalten. Der Quotient hat den Grad zwei. Das konstante Glied − 15ergibt sich (vom Vorzeichen abgesehen) als Produkt aller auftretenden Lösungen: 15 = 1 · 3 · 5. Dies kann dazu genutzt werden, um eine ganzzahlige Lösung der Gleichung durch Probieren zu finden. Falls eine ganzzahlige Lösung existiert, muss sie ein Teiler des konstanten Gliedes sein. Findet man einen solchen Teiler, kann der entsprechende Linearfaktor abgespalten werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=