116 Kreis und Kugel > Die Kugelgleichung 4 Bestimme die Schnittpunkte der Kugelfläche k mit den Koordinatenachsen. a) k: M = (− 1|2|1 ); r = 3 c) k: M = (0|0|0 ); r = 7 b) k: M = (3|0|0 ); r = 2 d) k: M = (− 3|−4|0 ); r = 5 Tangentialebene an eine Kugel Alle Tangenten an die Kugelfläche k im Punkt T bilden die Tangentialebene e. Die Tangentialebene steht normal auf den Kugelradius. Bestimme die Gleichung der Tangentialebene an die Kugelfläche k: (x + 2) 2 + (y − 1) 2 + (z − 4) 2 = 66im Punkt T = (3|−3|−1). Da der Radiusvektor ⎯ ⇀MT = ⇀nein Normalvektor der Ebene e ist, kann man mit ⇀nund T die Normalvektorform der Ebene e bestimmen: M = (− 2|1|4 ) ⇒ ⎯ ⇀MT = ( 5 − 4 − 5) = ⇀n ⇒ ( 5 − 4 − 5) · ( x y z ) = ( 5 − 4 − 5) · ( 3 − 3 − 1) ⇒ e: 5 x − 4 y − 5z = 32 Bestimme die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel k im Punkt T. a) k: (x − 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 9; T = (− 2|−3|0 ) b) k: (x − 2) 2 + (y + 3) 2 + (z − 2) 2 = 24; T = (4|1|0 ) c) k: x 2 + (y + 5) 2 + (z − 3) 2 = 13; T = (2|−5|0 ) d) k: x 2 + y 2 + z 2 = 16; T = (4|0|0 ) Untersuche an zwei selbstgewählten Beispielen, ob man die Tangentialeben an eine Kugel auch mit Hilfe einer Spaltform bestimmen kann. Zusammenfassung Koordinatenform der Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 Spaltform der Tangentengleichung t: (x T − x M) · (x − x M) + (y T − y M) · (y − y M) = r 2 Koordinatenform der Kugelgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 + (z − z M) 2 = r 2 Allgemeine Form der Kreis- und Kugelgleichung Die allgemeine Form der Kreisgleichung und der Kugelgleichung erhält man durch Berechnung der Binome und Zusammenfassen der Terme aus der Koordinatenform. Schnittwinkel Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden g und einer Kreislinie k ist der Winkel zwischen der Geraden und der Tangente im Schnittpunkt. Der Schnittwinkel zwischen zwei Kreislinien ist der Winkel zwischen den beiden Tangenten im Schnittpunkt. Als Schnittwinkel werden immer Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90°angegeben. 418 M r T n e Muster 419 420 Ó Technologie Anleitung Tangentialebene an Kugel h5rf7v 421 r M = (xm 1 ym 1 zm) X = (x 1 y 1 z) k1 k2 S t1 t2 α X = (x 1 y) M = (xM 1 yM) r k g k t S α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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