115 Kreis und Kugel > Die Kugelgleichung Bestimme die Gleichung einer Kugelfläche mit Mittelpunkt im Erdmittelpunkt und mit einem Radius von 6 371 km. Vergleiche das Ergebnis mit der Motivationsseite dieses Kapitels. Untersuche, ob die Punkte A, B und C auf der Kugelfläche k liegen. a) k: (x − 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 25; A = (1 | 2 | 0); B = (1| −3 | 5); C = (0 | 0 | 0) b) k: (x + 3) 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 29; A = (− 1 | 1 | 2); B = (− 1 | 4 | 3); C = (0 | 5 | 1) c) k: (x − 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 3; A = (6 | 0 | −1); B = (2 | 0 | 0); C = (− 1 | 0 | 6) d) k: x 2 + (y − 1) 2 + z 2 = 14; A = (1 | 3 | 3); B = (3 | 2| 2); C = (− 3 | −1 | −1) Untersuche, ob der Punkt P innerhalb, auf oder außerhalb der Kugelfläche k liegt. a) k: (x − 2) 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 25; P = (3 | 1 | 0) b) k: (x + 3) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 49; P = (− 3 | −1 | 0) c) k: (x − 5) 2 + (y + 6) 2 + z 2 = 1; P = (− 2 | −1 | 1) d) k: (x − 2) 2 + y 2 + z 2 = 4; P = (2 | −1 | 3) A, B und C liegen auf der Kugelfläche k. Bestimme die fehlenden Koordinaten. a) k: (x − 2) 2 + y 2 + (z − 2) 2 = 25; A = (2 | y | 2); B = (7 | 0 | z); C = (x | 0 | 7) b) k: x 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 16; A = (4 | 1 | z); B = (0 | 5 | z); C = (0 | y | 3) c) k: (x − 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 6; A = (6 | 0 | z); B = (7 | y | −1); C = (6 | 1 | z) d) k: x 2 + (y − 1) 2 + z 2 = 14; A = (1 | 3 | z); B = (3 | y | 1); C = (x | 4 | 2) Schnittpunkte von Kugelfläche und Gerade Bestimme die Schnittpunkte der Kugelfläche mit dem Mittelpunkt M = (3|2|−1) und dem Radius r = 9 _ 50 mit der Geraden g: X = ( − 2 − 1 − 5) + t · ( 5 3 4 ). 1. Zuerst stellt man die allgemeine Form der Kugelgleichung auf: k: (x − 3) 2 + (y − 2) 2 + (z + 1) 2 = 50 ⇒ x 2 − 6 x + y 2 − 4y + z2 + 2 z = 36 2. Um die Gerade mit der Kugelfläche zu schneiden, werden die x-, y- und z-Komponenten der Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt und dann der Parameter t berechnet: (− 2 + 5 t) 2 − 6 · (− 2 + 5 t) + (− 1 + 3 t) 2 − 4 · (− 1 + 3 t) + (− 5 + 4 t) 2 + 2 · (− 5 + 4 t) = 36 ⇒ 50 t 2 − 100 t = 0 ⇒ t 1 = 0; t 2 = 2 3. Die Parameter t 1und t2 werden in die Gleichung für g eingesetzt um die beiden Schnittpunkte S 1und S2zu berechnen: S 1 = ( − 2 − 1 − 5) + 0 · ( 5 3 4 ) = ( − 2 − 1 − 5) = (− 2 | −1 | −5)und S 2 = ( − 2 − 1 − 5) + 2 · ( 5 3 4 ) = ( 8 5 3) = (8 | 5 | 3). Bestimme die Schnittpunkte der Kugelfläche mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r mit der Geraden g. a) k: M = (− 1 | −3 | 0); r = 9 _ 14 ; g: X = ( 2 − 1 1) + t · ( 1 4 1 ) b) k: M = (− 3 | 0 | 2); r = 9 _ 5 ; g: X = ( − 3 − 1 4) + t · ( 1 3 − 2 ) 412 413 414 415 M S g 1 S2 Muster 416 Ó Technologie Anleitung Schnittpunkt Kugel – Gerade 9pr5kh 417 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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