115 Kreis und Kugel > Die Kugelgleichung Bestimme die Gleichung einer Kugelfläche mit Mittelpunkt im Erdmittelpunkt und mit einem Radius von 6 371 km. Vergleiche das Ergebnis mit der Motivationsseite dieses Kapitels. Untersuche, ob die Punkte A, B und C auf der Kugelfläche k liegen. a) k: (x − 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 25; A = (1|2|0 ); B = (1|−3|5 ); C = (0|0|0 ) b) k: (x + 3) 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 29; A = (− 1|1|2 ); B = (− 1|4|3 ); C = (0|5|1 ) c) k: (x − 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 3; A = (6|0|−1); B = (2|0|0 ); C = (− 1|0|6 ) d) k: x 2 + (y − 1) 2 + z 2 = 14; A = (1|3|3 ); B = (3|2|2 ); C = (− 3|−1|−1) Untersuche, ob der Punkt P innerhalb, auf oder außerhalb der Kugelfläche k liegt. a) k: (x − 2) 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 25; P = (3|1|0 ) b) k: (x + 3) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 49; P = (− 3|−1|0 ) c) k: (x − 5) 2 + (y + 6) 2 + z 2 = 1; P = (− 2|−1|1 ) d) k: (x − 2) 2 + y 2 + z 2 = 4; P = (2|−1|3 ) A, B und C liegen auf der Kugelfläche k. Bestimme die fehlenden Koordinaten. a) k: (x − 2) 2 + y 2 + (z − 2) 2 = 25; A = (2|y|2 ); B = (7|0|z ); C = (x|0|7 ) b) k: x 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2 = 16; A = (4|1|z ); B = (0|5|z ); C = (0|y|3 ) c) k: (x − 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 6; A = (6|0|z ); B = (7|y|−1); C = (6|1|z ) d) k : x 2 + (y − 1) 2 + z 2 = 14; A = (1|3|z ); B = (3|y|1 ); C = (x|4|2 ) Schnittpunkte von Kugelfläche und Gerade Bestimme die Schnittpunkte der Kugelfläche mit dem Mittelpunkt M = (3|2|−1) und dem Radius r = 9 _ 50mit der Geraden g: X = ( − 2 − 1 − 5) + t · ( 5 3 4 ). 1. Zuerst stellt man die allgemeine Form der Kugelgleichung auf: k: (x − 3) 2 + (y − 2) 2 + (z + 1) 2 = 50 ⇒ x 2 − 6x + y2 − 4y + z2 + 2 z = 36 2. Um die Gerade mit der Kugelfläche zu schneiden, werden die x-, y- und z-Komponenten der Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt und dann der Parameter t berechnet: (− 2 + 5 t) 2 − 6 · (− 2 + 5 t) + (− 1 + 3 t) 2 − 4 · (− 1 + 3 t) + (− 5 + 4 t) 2 + 2 · (− 5 + 4 t) = 36 ⇒ 50 t 2 − 100 t = 0 ⇒ t 1 = 0; t2 = 2 3. Die Parameter t1und t2 werden in die Gleichung für g eingesetzt um die beiden Schnittpunkte S1und S2zu berechnen: S 1 = ( − 2 − 1 − 5) + 0 · ( 5 3 4 ) = ( − 2 − 1 − 5) = (− 2|−1|−5)und S 2 = ( − 2 − 1 − 5) + 2 · ( 5 3 4 ) = ( 8 5 3 ) = (8|5|3 ). Bestimme die Schnittpunkte der Kugelfläche mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r mit der Geraden g. a) k: M = (− 1|−3|0 ); r = 9 _ 14 ; g: X = ( 2 − 1 1) + t · ( 1 4 1 ) b) k: M = (− 3|0|2 ); r = 9 _ 5 ; g: X = ( − 3 − 1 4) + t · ( 1 3 − 2 ) 412 413 414 415 M S g 1 S2 Muster 416 Ó Technologie Anleitung Schnittpunkt Kugel – Gerade 9pr5kh 417 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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