114 4.6 Die Kugelgleichung Lernziele: º Kugeln im Raum durch Gleichungen beschreiben können (AG-L 5.3) º Kugelgleichungen in Koordinatenform und in allgemeiner Form angeben können º Die Lagebeziehung eines Punktes und einer Geraden zur Kugelfläche ermitteln können º Tangentialebene an eine Kugelfläche bestimmen können Bestimme die Parameterform der Geraden g, die durch die Punkte A und B verläuft. a) A = (− 1 | 2 | 0); B = (3 | −3 | 7) b) A = (5 | −6 | 0); B = (5 | −9 | 7) c) A = (0 | 0 | 0); B = (10 | −30 | 70) Stelle die Gleichung einer Ebene e auf, die durch den Punkt P verläuft und den Normalvektor ⇀n besitzt. a) P = (− 2 | 5 | 3); ⇀n = ( − 4 1 3) b) P = (0 | 0 | 0); ⇀n = ( 0 − 1 0) c) P = (4 | 2 | −1); ⇀n = ( 1 2 − 3 ) Die Gleichung einer Kugelfläche Analog zur Kreisgleichung in der Ebene lässt sich im Raum für die Kugelfläche k mit dem Mittelpunkt M = (x M | y M | z M) und dem Radius r die Koordinatenform der Kugelgleichung angeben: k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 + (z − z M) 2 = r 2 Die allgemeine Form der Kugelgleichung erhält man durch Berechnung der Binome und Zusammenfassen der Terme. Gleichung einer Kugelfläche Geogebra: Kugel(Mittelpunkt, Radius) Kugel((2, 3, 0), 4) (x – 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 16 Bestimme die Gleichung der Kugelfläche mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r in Koordinatenform und in allgemeiner Form. a) M = (1 | 2 | 3); r = 4 c) M = (1 | 4 | 5); r = 6 e) M = (0 | 1 | −4); r = 0,5 b) M = (− 2 | 0 | 2); r = 2 d) M = (0 | 0 | 0); r = 10 f) M = (0 | 0 | 1); r = 1 Gegeben ist die Gleichung einer Kugelfläche k. Bestimme den Radius r und den Mittelpunkt M der Kugel. a) k: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z = 12 c) k: x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 8 y − 2 z = 4 b) k: x 2 + y 2 + z 2 − 12 x + 8 y − 4 z = 5 d) k: x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 10 y = 3 Bestimme die Lage des Mittelpunktes M der Kugel k (a , b, c, r ∈ ℝ \ {0}). a) k: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 d) k: x 2 + y 2 + z 2 + by = r2 b) k: x 2 + y 2 + z 2 +ax+by=r2 e) k: x 2 + y 2 + z 2 + ax = r2 c) k: x 2 + y 2 + z 2 + cz = r2 f) k: x 2 + y 2 + z 2 +by+ cz=r2 Kompetenzen Vorwissen 407 408 Merke M X Technologie 409 410 411 Ó Technologie Anleitung Kugel- gleichung fr8s2s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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