113 Kreis und Kugel > Lagebeziehungen zweier Kreise Bestimme die gemeinsamen Punkte der Kreislinien k 1, k 2 und k3 und veranschauliche deren Lage durch eine Skizze. a) k 1: x 2 + y 2 + 18 x − 8 y = − 45; k 2: x 2 + y 2 − 10 x + 14 y = 39; k 3: x 2 + y 2 − 4 x − 18 y = 21 b) k 1: x 2 + y 2 + 20 x − 6 y = − 84; k 2: x 2 + y 2 − 24 x − 10 y = 180; k 3: x 2 + y 2 − 2 x − 8 y = 48 c) k 1: x 2 + y 2 + 16 x − 10 y = 27; k 2: x 2 + y 2 − 10 x − 6 y = 31; k 3: x 2 + y 2 + 4 x + 14 y = 32 Schnittwinkel zweier Kreislinien bestimmen Schnittwinkel zweier Kreislinien Als Schnittwinkel zwischen zwei Kreislinien bezeichnet man den Winkel α, den die beiden Tangenten im Schnittpunkt einschließen. Üblicherweise gibt man jenen Winkel α an, für den 0° ≤ α ≤ 90°gilt. Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Kreislinien k 1 und k2. k 1[M = (− 6|4); r = 9 _ 20 ]; k 2[M = (6|6); r = 9 _ 80 ] Da die Schnittwinkel in den beiden Schnittpunkten aus Symmetriegründen gleich sind, braucht man nur den Schnittwinkel in einem Schnittpunkt bestimmen. k 1: (x + 6) 2 + (y − 4) 2 = 20 ⇒ I: x 2 + y 2 + 12 x − 8 y = − 32 k 2: (x − 6) 2 + (y − 6) 2 = 80 ⇒ II: x2 + y 2 − 12 x − 12 y = 8 Aus dem Gleichungssystem erhält man z.B. den Schnittpunkt S 1 = (− 2|2). Mit Hilfe der Spaltformen beider Kreisgleichungen erhält man die beiden Tangenten in S 1. Tangente an k1: t 1: (x + 6)(− 2 + 6) + (y − 4)(2 − 4) = 20 ⇒ t 1 : − 2 x + y = 6 Tangente an k2: t 1: (x − 6)(− 2 − 6) + (y − 6)(2 − 6) = 80 ⇒ t 2: 2 x + y = − 2 Da die Normalvektoren von t1 und t2 den gleichen Winkel wie die beiden Geraden t1 und t2 einschließen, kann man den Schnittwinkel α folgendermaßen berechnen: ⇀n 1 = ( − 2 1); ⇀n 2 = ( 2 1) ⇒ cos(α) = (− 2 1)( 2 1) _____ 9 _ 5 9 _ 5 = − 3 _ 5 = − 0, 6 ⇒ α = 126,87° Da man üblicherweise den spitzen Schnittwinkel angibt, beträgt dieser 180° − 126, 87° = 53,13°. Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Kreislinien k 1 und k2. a) k 1 [M = (− 5|−4); r = 4]; k 2[M = (0|4); r = 9 _ 41 ] b) k 1[M = (7|4); r = 9 _ 37 ]; k 2[M = (− 2|−3); r = 9 _ 65 ] c) k 1[M = (2|1); r = 9 _ 5 ]; k 2[M = (− 1|−3); r = 9 _ 20 ] d) k 1[M = (1|−3); r = 9 _ 8 ]; k 2[M = (− 3|−7); r = 9 _ 72 ] Die kürzeste Verbindung eines Punktes der Kreislinie zum Kreismittelpunkt heißt Radialstrecke. Untersuche, ob die folgende Behauptung richtig ist, und begründe deine Antwort. „Der Schnittwinkel zweier Kreise entspricht dem Schnittwinkel, den die beiden Radialstrecken zu einem Schnittpunkt der beiden Kreislinien einschließen.“ 403 Merke k1 k2 S1 t1 t2 α Muster 404 405 Ó Technologie Anleitung Schnittwinkel Kreis – Kreis 7ue72b 406 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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