111 Kreis und Kugel > Tangente an einen Kreis Schnittwinkel Schnittwinkel zwischen Kreislinie und Gerade Als Schnittwinkel zwischen Gerade g und Kreislinie k versteht man den Winkel, den die Gerade g mit der Tangente t im Schnittpunkt S einschließt. Es wird üblicherweise jener Winkel als Schnittwinkel gewählt, für den gilt: 0° ≤ α ≤ 90°. Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g : x − y = − 10die Kreislinie k: (x + 9) 2 + (y + 3) 2 = 80? Da die Schnittwinkel an beiden Schnittpunkten gleich sind, reicht es, einen Schnittpunkt S zu bestimmen. Für S erhält man z.B. S = (− 5|5). Nun kann man die Gleichung der Tangente t in S bestimmen. Man erhält: t: x + 2 y = 5. Abschließend ermittelt man mit der Vektorwinkelformel den Winkel α zwischen dem Richtungsvektor →gder Geraden und dem Richtungsvektor ⇀t d e r Ta n g e n t e . Aus dem Normalvektor ⇀n g = ( 1 − 1) von g erhält man den Richtungsvektor →g = ( 1 1) von g. Ebenso erhält man den Richtungsvektor ⇀t = ( 2 − 1) der Tangente t. ⇀g = ( 1 1) ; ⇀t = ( 2 − 1) ; cos α = ( 1 1) · ( 2 − 1) ______ 9 _ 2 · 9 _ 5 = 0, 32 ⇒ α = 71, 57° Tipp: Da die Normalvektoren von zwei Geraden den gleichen Winkel einschließen wie deren Richtungsvektoren, kann man den Winkel zwischen zwei Geraden auch aus deren Normalvektoren ermitteln. Bestimme den Schnittwinkel, den die Gerade g mit der Kreislinie k einschließt. a) g: x − 5 y = − 33; k: (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 26 d) g: − x − 7 y = − 67; k: (x + 4) 2 + (y − 3) 2 = 50 b) g: y = 6; k: x2 + y 2 + 4 x + 4 y = 65 e) g: − 3 x − 8 y = 0; k: x2 + y 2 = 292 c) g: x = − 3; k: x2 + y 2 + 6 x + 8 y = 100 f) g: y = 8; k: x2 + (y − 8) 2 = 144 Welche besondere Lage haben Kreislinie und Gerade zueinander, wenn ihr Schnittwinkel 1) 90° 2) 0° beträgt? Gegeben ist die Kreisgleichung k 1. Bestimme die Kreisgleichung einer Kreislinie k2, die ihren Mittelpunkt in M hat und den Kreis k 1 rechtwinkelig schneidet. a) k 1: x 2 + y 2 + 18 x − 10 y = − 56; M = (4|4) c) k 1: x 2 + y 2 − 4 x − 20 y = − 32; M = (2|−3) b) k 1: x 2 + y 2 + 20 x + 10 y = − 64; M = (2|−3) Gegeben ist die Kreisgleichung k 1. Bestimme die Kreisgleichung einer Kreislinie k2, die ihren Mittelpunkt in M hat und den Kreis k 1 unter dem Winkel α = 0°schneidet. a) k 1: x 2 + y 2 + 18 x − 10 y = − 56; M = (4|4) c) k 1: x 2 + y 2 − 4 x − 20 y = − 32; M = (2|−3) b) k 1: x 2 + y 2 + 20 x + 10 y = − 64; M = (2|−3) Merke g k M t S α Muster 394 395 Ó Technologie Anleitung Schnittwinkel Kreis – Gerade f96qv6 396 397 398 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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