11 1.2 Polynomdivision Lernziele: º Algebraische Gleichungen durch Abspalten eines Linearfaktors lösen können º Die Polynomdivision zum Abspalten eines linearen Faktors einsetzen können Satz von Vieta Für quadratische Gleichungen x2 + p x + q = 0bzw. a x2 + b x + c = 0mit den Lösungen x 1und x2 gilt: x 2 + p x + q = (x − x 1) · (x − x 2)bzw. a x 2 + b x + c = a · (x − x 1) · (x − x 2) Zerlege den quadratischen Term der Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 − x − 6 = 0 c) x 2 + 2 x − 35 = 0 e) 2 x 2 + x − 10 = 0 b) x 2 − 5 x + 4 = 0 d) x 2 + 9 x + 20 = 0 f) 4 x 2 + 31 x − 8 = 0 Finde eine quadratische Gleichung, die die gegebenen Lösungen besitzt. a) 3; 2 b) 4; 4 c) − 1; − 7 d) − 5; 9 e) 8; − 10 Die Zerlegung in Linearfaktoren kann auch auf Terme und Gleichungen vom Grad > 2 erweitert werden. Zeige durch Ausmultiplizieren, dass die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens äquivalent sind. a) x 3 − 3 x 2 − 13 x + 15 = (x − 1) (x + 3) (x − 5) c) x 3 − 3 x 2 − 24 x + 80 = (x + 5) (x − 4) 2 b) x 3 − 3 x 2 − 54 x = x(x + 6) (x − 9) d) x 3 + 21 x2 + 147x + 343 = (x + 7) 3 Finde eine Gleichung dritten Grades, die die gegebenen Lösungen besitzt. a) 1; − 2; 3 b) − 1; 0; 1 c) − 2; − 2; 3 d) 0; 4; 4 e) 5; 5; 5 Welche der Gleichungen haben die Lösungen 3; 4; − 1und 1? Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an. A (x + 3) · (x + 4) · (x − 1) · (x + 1) = 0 B (x − 3) · (x − 4) · (x − 1) · (x + 1) = 0 C (x − 3) · (x + 4) · (x 2 + 1) = 0 D (x 2 − 7 x + 12) · (x 2 − 1) = 0 E (x 2 − 7 x + 12) · (x 2 + 1) = 0 Gegeben ist die Gleichung x · (2 x − 8) · (x + 1) · (x − 10) 2 = 0. Wie lauten die Lösungen der Gleichung? Kreuze die zutreffende Aussage an. A B C D E F − 4; 1; 10 − 10; 4; 1; 10 − 10; − 4; − 1; 10 − 1; 0; 4; 10 − 4; − 1; 0; 10 − 10; 0; 1; 4; 10 Kompetenzen VoMrweirsksen t 19 t 20 t 21 t 22 23 24 Ó Arbeitsblatt Zerlegung in Linearfaktoren rd59er Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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