109 Kreis und Kugel > Tangente an einen Kreis Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T. k: (x + 8) 2 + (y − 6) 2 = 68; T = (− 10|−2) Zunächst „spaltet“ man die Kreisgleichung auf: (x + 8) · (x + 8) + (y − 6) · (y − 6) = 68 Danach setzt man die Koordinaten des Tangentenpunktes T = (− 10|−2) in jeweils einen Faktor der Spaltform ein und erhält die Gleichung der Tangente t: t: (− 10 + 8) · (x + 8) + (− 2 − 6) · (y − 6) = 68 ⇒ t: − x − 4 y = 18 Gleichung der Tangente an eine Kreislinie Geogebra: Tangente(Punkt, Objekt) Tangente ((–3,0),x2 + y2 = 9) x = –3 Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kreislinie k im Punkt T. a) T = (− 2|3 ); k[M = (2|0 ); r] d) T = (x < 0|2 ); k: (x − 2) 2 + y 2 = 13 b) T = (4|− 5); k[M = (− 3|1 ); r] e) T = (0|y < 0); k: x2 + y 2 − 10 x + 6 y = 16 c) T = (1|y > 0); k: (x − 4) 2 + (y − 1) 2 = 9 f) T = (7|y < 0); k: x2 + y 2 − 14 x − 2 y = − 41 Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt T an die Kreislinie k. a) k: (x + 1) 2 + (y − 2) 2 = 25; T = (− 1|y < 0) c) k: x 2 + (y + 1) 2 = 40; T = (2|y > 0) b) k: (x − 2) 2 + y 2 = 36; T = (x < 0|0 ) d) k: (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 2; T = (x > 3|−3) Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P an die Kreislinie k. a) x 2 + y 2 = 12; P = (2, 3|y > 0) c) (x − 3, 4) 2 + (y + 1, 1) 2 = 5; P = (x > 4|1 ) b) x 2 + 3x + y2 − 4 y − 24 = 0; P = (x < 0|6 ) d) x 2 + y 2 − 5 y = 10; P = (2|y < 0) Vom Punkt P = (− 19|2 ) werden zwei Tangenten an die Kreislinie k: (x + 6) 2 + (y − 2) 2 = 117gelegt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. Um die Koordinaten der Berührpunkte T1, 2 = (x|y ) zu berechnen, verwendet man zwei Eigenschaften von T, die jeweils auf quadratische Gleichungen mit den Variablen x und y führen: 1. Eigenschaft: Die Vektoren → PT und ⟶MTstehen normal aufeinander: ⇀PT ⊥ ⎯ ⇀MT ⇒ ⇀PT · ⎯ ⇀M T = 0 ⇒ ( x + 19 y − 2) · ( x + 6 y − 2) = 0 ⇒ x 2 + y 2 + 25 x − 4 y + 118 = 0 2. Eigenschaft: T liegt auf der Kreislinie k: T ∈ k ⇒ (x + 6) 2 + (y − 2) 2 = 117 ⇒ x 2 +12x + y2 − 4 y − 77 = 0 Nun löst man das Gleichungssystem: I: x 2 + y 2 + 25 x − 4 y + 118 = 0 II: x 2 + y 2 + 12 x − 4 y− 77 = 0 Man erhält als Lösungsmenge L = {(− 15|−4), (− 15|8 )}. Es gibt also die zwei Berührpunkte T1 = (− 15|−4)und T 2 = (− 15|8 ). Vom Punkt P werden zwei Tangenten an die Kreislinie k gelegt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. a) P = (− 9|12); k: (x + 16) 2 + (y − 11) 2 = 25 c) P = (13|18); k: (x − 3) 2 + (y − 8) 2 = 40 b) P = (− 5|11); k: (x − 4) 2 + (y − 20) 2 = 80 d) P = (− 8|−15); k: (x + 8) 2 + (y − 11) 2 = 26 Muster 382 Technologie Ó Technologie Anleitung Tangente an den Kreis 2 ew3h2q 383 384 385 k t2 t1 T1 T2 P M Muster 386 Ó Technologie Anleitung Tangente an den Kreis 3 aw64ra 387 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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