109 Kreis und Kugel > Tangente an einen Kreis Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T. k: (x + 8) 2 + (y − 6) 2 = 68; T = (− 10 | −2) Zunächst „spaltet“ man die Kreisgleichung auf: (x + 8) · (x + 8) + (y − 6) · (y − 6) = 68 Danach setzt man die Koordinaten des Tangentenpunktes T = (− 10 | −2) in jeweils einen Faktor der Spaltform ein und erhält die Gleichung der Tangente t: t: (− 10 + 8) · (x + 8) + (− 2 − 6) · (y − 6) = 68 ⇒ t: − x − 4 y = 18 Gleichung der Tangente an eine Kreislinie Geogebra: Tangente(Punkt, Objekt) Tangente ((–3,0),x2 + y2 = 9) x = –3 Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kreislinie k im Punkt T. a) T = (− 2 | 3); k[M = (2 | 0); r] d) T = (x < 0 | 2); k: (x − 2) 2 + y 2 = 13 b) T = (4 | − 5); k[M = (− 3 | 1); r] e) T = (0 | y < 0); k: x2 + y 2 − 10 x + 6 y = 16 c) T = (1 | y > 0); k: (x − 4) 2 + (y − 1) 2 = 9 f) T = (7 | y < 0); k: x2 + y 2 − 14 x − 2 y = − 41 Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt T an die Kreislinie k. a) k: (x + 1) 2 + (y − 2) 2 = 25; T = (− 1 | y < 0) c) k: x 2 + (y + 1) 2 = 40; T = (2 | y > 0) b) k: (x − 2) 2 + y 2 = 36; T = (x < 0 | 0) d) k: (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 2; T = (x > 3 | −3) Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P an die Kreislinie k. a) x 2 + y 2 = 12; P = (2,3 | y > 0) c) (x − 3,4) 2 + (y + 1,1) 2 = 5; P = (x > 4 | 1) b) x 2 + 3x + y2 − 4 y − 24 = 0; P = (x < 0 | 6) d) x 2 + y 2 − 5 y = 10; P = (2 | y < 0) Vom Punkt P = (− 19 | 2) werden zwei Tangenten an die Kreislinie k: (x + 6) 2 + (y − 2) 2 = 117gelegt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. Um die Koordinaten der Berührpunkte T1, 2 = (x | y) zu berechnen, verwendet man zwei Eigenschaften von T, die jeweils auf quadratische Gleichungen mit den Variablen x und y führen: 1. Eigenschaft: Die Vektoren → PT und ⟶MTstehen normal aufeinander: ⇀PT ⊥ ⎯ ⇀MT ⇒ ⇀ PT · ⎯ ⇀ MT = 0 ⇒ ( x + 19 y − 2) · ( x + 6 y − 2) = 0 ⇒ x 2 + y 2 + 25 x − 4 y + 118 = 0 2. Eigenschaft: T liegt auf der Kreislinie k: T ∈ k ⇒ (x + 6) 2 + (y − 2) 2 = 117 ⇒ x 2 + 12 x + y 2 − 4 y − 77 = 0 Nun löst man das Gleichungssystem: I: x 2 + y 2 + 25 x − 4 y + 118 = 0 II: x 2 + y 2 + 12 x − 4 y− 77 = 0 Man erhält als Lösungsmenge L = {(− 15 | −4), (− 15 | 8)}. Es gibt also die zwei Berührpunkte T1 = (− 15 | −4)und T 2 = (− 15 | 8). Vom Punkt P werden zwei Tangenten an die Kreislinie k gelegt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. a) P = (− 9 | 12); k: (x + 16) 2 + (y − 11) 2 = 25 c) P = (13 | 18); k: (x − 3) 2 + (y − 8) 2 = 40 b) P = (− 5 | 11); k: (x − 4) 2 + (y − 20) 2 = 80 d) P = (− 8 | −15); k: (x + 8) 2 + (y − 11) 2 = 26 Muster 382 Technologie Ó Technologie Anleitung Tangente an den Kreis 2 ew3h2q 383 384 385 k t2 t1 T1 T2 P M Muster 386 Ó Technologie Anleitung Tangente an den Kreis 3 aw64ra 387 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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