108 4.4 Tangente an einen Kreis Lernziele: º Die Gleichung einer Tangente an einen Kreis bestimmen können º Die Spaltform der Tangentengleichung anwenden können º Einen Schnittwinkel zwischen Gerade und Kreis bestimmen können P ist ein Punkt auf der Geraden g und ⇀nist ein Normalvektor von g. Gib die Gerade g in Parameterdarstellung und in allgemeiner Form an. a) P = (5|9 ); ⇀n = ( − 3 1) b) P = (0|0 ); ⇀n = ( 0 1) c) P = (3|9 ); ⇀n = ( 2 1) Bestimme eine normale Gerade n zu der Geraden g. Gib n in Parameterform und allgemeiner Form an. a) g: 2 x − 4 y = 7 c) g: y = − 3 _ 5 x + 1 e) g: X = ( 2 − 3) + t · (− 6 7) b) g: y = − 3 d) g: x = 1 f) g: x − y = 0 Überprüfe, ob die Vektoren ⇀a und ⇀ bnormal aufeinander stehen. a) ⇀a = (− 4 1) , ⇀ b = ( 1 4) b) ⇀a = ( 12 4) , ⇀ b = ( 1 3) c) ⇀a = ( 0 1) , ⇀ b = ( 3 0) T = (7|7 ) ist ein Punkt auf der Kreislinie k mit k: (x − 4) 2 + (y − 3) 2 = 25. Bestimme die Gleichung der Tangente t, die die Kreislinie k in T berührt. Da die Tangente t immer normal auf den Berührradius r = ‾MT steht, ist der Vektor ⎯ ⇀MTein Normalvektor der Tangente t. ⎯ ⇀M T = ( 7 7) − ( 4 3) = ( 3 4) Von der Tangente t ist nun der Punkt T = (7|7 )und der Normalvektor ⇀n = ( 3 4) bekannt. Man kann also die Normalvektorform der Tangente t bestimmen: t: ( 3 4) · ( x y ) = ( 3 4) · ( 7 7) ⇒ t: 3 x + 4 y = 49 Die Spaltform der Tangentengleichung ist eine weitere Möglichkeit, die Gleichung der Tangente t an eine Kreislinie k im Punkt T zu bestimmen. Die Spaltform erhält man, indem man die Binome der Kreisgleichung k „aufspaltet“: k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 ⇒ k: (x − x M)(x − x M) + (y − y M)(y − y M) = r 2 Daraus erhält man die Tangentengleichung, indem man in jeweils einen Faktor die Koordinaten des Berührpunktes T = (x T| y T)einsetzt: t: (x T − x M)(x − x M) + (y T − y M)(y − y M) = r 2 Spaltform der Tangentengleichung Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = (x M| y M) und Radius r besitzt im Punkt T = (x T| y T) die Tangente t mit der Gleichung: t: (x T − x M)(x − x M) + (y T − y M)(y − y M) = r 2 (Beweis S. 270) Kompetenzen Vorwissen 378 379 380 Muster 381 aufspa®ten der Binome Merke k t r T = (xT 1 yT) M = (xM 1 yM) P = (x 1 y) x y 2 4 6 8 10 2 4 6 8 0 k t MT 90° T = (7 1 7) M = (4 1 3) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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