107 Kreis und Kugel > Lagebeziehungen von Kreis und Gerade Bestimme alle Tangenten an die Kreislinie k, die 1) parallel zur x-Achse 2) parallel zur y-Achse sind. a) k: (x − 1) 2 + (y − 5) 2 = 36 b) k: (x + 3) 2 + y 2 = 16 c) k: (x − 2) 2 + (y − 6) 2 = 100 Ordne den Kreisgleichungen die entsprechende Eigenschaft der Kreislinie zu. 1 x 2 + y 2 = 10 A Die x- und y-Achse sind Passanten. 2 (x − 5) 2 + (y − 4) 2 = 16 B Die x-Achse ist Tangente. 3 (x − 1) 2 + (y − 3) 2 = 0, 25 C Die x-Achse ist Sekante. 4 (x + 4) 2 + (y − 10) 2 = 16 D Die y-Achse ist Tangente. Gib jeweils die Gleichung eines Kreises an, zu dem die Gerade g eine 1) Passante 2) Tangente 3) Sekante ist. Überprüfe deine Lösungen mit Technologieeinsatz. a) g: y = 3 b) g: x = − 3 c) g: y = x d) g: y = 2 x − 1 Bestimme alle Tangenten an die Kreislinie k, die parallel zur ersten Mediane (y = x) sind. a) k: x 2 + y 2 = 16 b) k: x 2 + y 2 = 64 c) k: x 2 + y 2 = 1 Bestimme den Parameter m so, dass die Gerade t: − x + y = meine Tangente an die Kreislinie k mit dem Mittelpunkt M = (− 11|7) und dem Radius r = 9 _ 8 ist. Zunächst stellt man die Kreisgleichung auf: k: (x + 11) 2 + (y − 7) 2 = 8. Dann schneidet man t und k, indem man mit der Geradengleichung t die Variable y ausdrückt und in k einsetzt: y = x + m ⇒ (x + 11) 2 + (x + m − 7) 2 = 8 ⇒ 2 x 2 + (2 m + 8) x + m2 − 14 m + 162 = 0 Wenn die Gerade t eine Tangente an k ist, dann darf die quadratische Gleichung nur eine Lösung haben. Die Diskriminante D = b2 − 4 acin der Lösungsformel muss also 0 sein. (2 m + 8) 2 − 4 · 2 · (m 2 − 14 m + 162) = 0 ⇒ m 2 − 36 m + 308 = 0 ⇒ m 1 = 14; m2 = 22 Es gibt somit zwei passende Parameter m, mit denen t zur Tangente an k wird. Bestimme den Parameter m so, dass die Gerade t eine Tangente an die Kreislinie k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist. a) t: − x − my = − 49; M = (5|−6); r = 9 _ 272 b) t: m x + y = 25; M = (0|0); r = 5 c) t: m x + y = − 35; M = (− 11|14); r = 9 _ 416 d) t: y = x + m; M = (2|0); r = 1 Wie müssen die Parameter r, k und d zusammenhängen, sodass die Gerade y = k x + d Tangente an den Kreis x2 + y 2 = r 2 ist? Gegeben ist eine Kreislinie k: x2 + y 2 = 49und eine Gerade g : y = k x + d. Kreuze die zutreffenden Aussagen an. A Wenn d = 0, so ist g eine Tangente an die Kreislinie k. B Wenn d = 6, so ist g eine Sekante der Kreislinie k. C Wenn k = 0und d = 49, so ist g eine Tangente an die Kreislinie k. D Wenn k = 0und d = − 7, so ist g eine Tangente an die Kreislinie k. E Wenn k = 1und d = 7, so ist g eine Sekante der Kreislinie k. 370 371 372 373 Muster 374 Ó Technologie Anleitung Tangenten an den Kreis 1 4zv2zj 375 376 377 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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