105 4.3 Lagebeziehungen von Kreis und Gerade Lernziel: º Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade bestimmen können Lagebeziehung Kreis-Gerade Es gibt drei Lagebeziehungen einer Geraden g zu einer Kreislinie k: – Sekante: Die Gerade schneidet die Kreislinie in zwei Punkten: g ∩ k = {S 1; S 2} – Tangente: Die Gerade berührt die Kreislinie in einem Punkt: g ∩ k = {T} – Passante: Die Gerade hat mit der Kreislinie keinen Punkt gemeinsam: g ∩ k = {} Die Lagebeziehung zwischen der Kreislinie k: (x + 3) 2 + (y + 4) 2 = 25und der Geraden g: x + y = − 2kann man bestimmen, indem man deren Schnittpunkte ermittelt. Aus der Anzahl der Schnittpunkte kann man auf die Lagebeziehung schließen. Um die Schnittpunkte zu ermitteln, drückt man aus der Geradengleichung eine Variable aus: y = − 2 − x Diese Variable setzt man nun in die Kreisgleichung ein. Man erhält eine quadratische Gleichung: k: (x + 3) 2 + (− 2 − x + 4) 2 = 25 ⇒ x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 4 x + 4 = 25 ⇒ 2 x 2 + 2 x − 12 = 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichungen entsprechen den x-Werten der Schnittpunkte. Die quadratische Gleichung 2 x2 + 2 x − 12 = 0besitzt die beiden Lösungen x 1 = − 3, x 2 = 2. g ist daher eine Sekante bezüglich k. Die y-Werte der Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen der x-Koordinaten in die Geradengleichung: y 1 = − 2 − (− 3) = 1 und y 2 = − 2 − 2 = − 4 ⇒ S 1 = (− 3|1 ) und S 2 = (2|−4) Tipp: Hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, so handelt es sich bei g um eine Sekante. Hat die quadratische Gleichung eine reelle Lösung, so handelt es sich bei g um eine Tangente. Hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung, so handelt es sich bei g um eine Passante. Bestimme die Lagebeziehung und gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Kreislinie k und der Geraden g. a) g: y = − 2 x − 14; k: (x − 2) 2 + (y − 2) 2 = 85 c) g: x + 2 y = 14; k: (x − 7) 2 + (y + 5) 2 = 50 b) g: 7x + 4y = 41; k: x2 + y 2 + 8 x − 2 y = 48 d) g: y = − x − 6; k: x2 + y 2 − 4 y = 60 Kompetenzen Merke Passante Tangente T k Sekante S2 S1 x y 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 –8 –6 –4 –2 0 S2 = (2 1 – 4) S1 = (– 3 1 1) k M = (– 3 1 – 4) 362 Ó Technologie Anleitung Lagebeziehung Kreis Gerade p243y8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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