103 4.2 Aufstellen von Kreisgleichungen Lernziel: º Kreisgleichungen aus verschiedenen Angaben ermitteln können Bestimme die Kreisgleichung der Kreislinie k, auf der die Punkte A, B und C liegen. A = (11 | 12), B = (− 4 | 9), C = (14 | −3) Setzt man die drei Punkte in die Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 ein, erhält man drei Gleichungen in drei Variablen. k: (11 − x M) 2 + (12 − y M) 2 = r 2 ⇒ I: 121 − 22 x M + x M 2 + 144 − 24 y M + y M 2 = r 2 k: (− 4 − x M) 2 + (9 − y M) 2 = r 2 ⇒ II: 16 + 8 x M + x M 2 + 81 − 18 y M + y M 2 = r 2 k: (14 − x M) 2 + (− 3 − y M) 2 = r 2 ⇒ III: 196 − 28 x M + x M 2 + 9 + 6 y M + y M 2 = r 2 Dieses Gleichungssystem löst man mit Hilfe von Technologieeinsatz und erhält die Lösungen x M = 5; y M = 3 ⇒ M = (5 | 3). Der Radius r ist der Abstand zwischen einem Punkt der Kreislinie und dem Mittelpunkt: |⎯ ⇀AM | = |M − A| = |( − 6 − 9) | = 9 _ 117 = r ⇒ k: (x − 5) 2 + (y − 3) 2 = 117 Tipp: Da der gesuchte Kreis dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC entspricht, kann man den Mittelpunkt auch durch Schneiden der Streckensymmetralen ermitteln. Aufstellen der Kreisgleichung k mit Hilfe von drei Punkten Geogebra: Kreis(Punkt,Punkt,Punkt) Kreis((–3,0),(3,0),(0,–1)) k: x2 + y2 – 8 y – 9 = 0 Bestimme die Gleichung der Kreislinie k, auf der die drei Punkte A, B und C liegen. a) A = (− 4 | 9), B = (2 | 3), C = (− 10 | 3) c) A = (− 4 | 9), B = (14 | 9), C = (− 10 | −3) b) A = (− 1 | 1), B = (2 | −3), C = (− 5 | 3) d) A = (0 | 9), B = (1 | −1), C = (− 3 | 4) 1) Ermittle die Gleichung der Kreislinie k, auf der die drei Punkte A, B und C liegen. 2) Begründe, wie man auch ohne Rechnung die Kreisgleichung ermitteln kann. a) A = (− 8 | 0), B = (8 | 0), C = (0 | 8) b) A = (0 | 0), B = (6 | 6), C = (12 | 0) Überlege, warum es keine Kreislinie durch die drei Punkte A, B und C geben kann. Welches Ergebnis erhältst du beim Einsatz von Technologie? a) A = (− 3 | 0), B = (1 | 0), C = (2 | 0) b) A = (0 | 0), B = (1 | 1), C = (2 | 2) Bestimme die Gleichung der Kreislinie k mit dem Radius r = 9 _ 29, die die Punkte A = (− 1 | 3) und B = (2 | −4)enthält. Mit geometrische Überlegungen erkennt man, dass es zwei passende Kreislinien geben muss. Setzt man die zwei Punkte und den Radius r in die Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 ein, erhält man zwei Gleichungen in zwei Variablen. k: (− 1 − x M) 2 + (3 − y M) 2 = 29 ⇒ I: 2 x M + x M 2 − 6 y M + y M 2 = 19 k: (2 − x M) 2 + (− 4 − y M) 2 = 29 ⇒ II: − 4 x M + x M 2 + 8 y M + y M 2 = 9 Kompetenzen Muster 349 Ó Technologie Anleitung Quadratisches Gleichungssystem lösen ip7f29 Ó Arbeitsblatt Quadratisches Gleichungssystem ohne Technologieeinsatz lösen 3ms8pp Technologie Ó Technologie Anleitung Kreisgleichung aus drei Punkten aufstellen 4jf7wk 350 351 352 r r r r A B k2 k1 M1 M2 Muster 353 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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