103 4.2 Aufstellen von Kreisgleichungen Lernziel: º Kreisgleichungen aus verschiedenen Angaben ermitteln können Bestimme die Kreisgleichung der Kreislinie k, auf der die Punkte A, B und C liegen. A = (11|12), B = (− 4|9 ), C = (14|−3) Setzt man die drei Punkte in die Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 ein, erhält man drei Gleichungen in drei Variablen. k: (11 − x M) 2 + (12 − y M) 2 = r 2 ⇒ I: 121 − 22 x M + x M 2 + 144 − 24 y M + y M 2 = r 2 k: (− 4 − x M) 2 + (9 − y M) 2 = r 2 ⇒ II: 16 + 8x M + x M 2 + 81 − 18 y M + y M 2 = r 2 k: (14 − x M) 2 + (− 3 − y M) 2 = r 2 ⇒ III: 196 − 28 x M + x M 2 +9+6y M + y M 2 = r 2 Dieses Gleichungssystem löst man mit Hilfe von Technologieeinsatz und erhält die Lösungen x M = 5; yM = 3 ⇒ M = (5|3 ). Der Radius r ist der Abstand zwischen einem Punkt der Kreislinie und dem Mittelpunkt: |⎯ ⇀AM | = |M − A| = |( − 6 − 9)| = 9 _ 117 = r ⇒ k: (x − 5) 2 + (y − 3) 2 = 117 Tipp: Da der gesuchte Kreis dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC entspricht, kann man den Mittelpunkt auch durch Schneiden der Streckensymmetralen ermitteln. Aufstellen der Kreisgleichung k mit Hilfe von drei Punkten Geogebra: Kreis(Punkt,Punkt,Punkt) Kreis((–3,0),(3,0),(0,–1)) k: x2 + y2 – 8 y – 9 = 0 Bestimme die Gleichung der Kreislinie k, auf der die drei Punkte A, B und C liegen. a) A = (− 4|9 ), B = (2|3 ), C = (− 10|3 ) c) A = (− 4|9 ), B = (14|9 ), C = (− 10|−3) b) A = (− 1|1 ), B = (2|−3), C = (− 5|3 ) d) A = (0|9 ), B = (1|−1), C = (− 3|4 ) 1) Ermittle die Gleichung der Kreislinie k, auf der die drei Punkte A, B und C liegen. 2) Begründe, wie man auch ohne Rechnung die Kreisgleichung ermitteln kann. a) A = (− 8|0 ), B = (8|0 ), C = (0|8 ) b) A = (0|0 ), B = (6|6 ), C = (12|0 ) Überlege, warum es keine Kreislinie durch die drei Punkte A, B und C geben kann. Welches Ergebnis erhältst du beim Einsatz von Technologie? a) A = (− 3|0 ), B = (1|0 ), C = (2|0 ) b) A = (0|0 ), B = (1|1 ), C = (2|2 ) Bestimme die Gleichung der Kreislinie k mit dem Radius r = 9 _ 29, die die Punkte A = (− 1|3 ) und B = (2|−4)enthält. Mit geometrische Überlegungen erkennt man, dass es zwei passende Kreislinien geben muss. Setzt man die zwei Punkte und den Radius r in die Kreisgleichung k: (x − x M) 2 + (y − y M) 2 = r 2 ein, erhält man zwei Gleichungen in zwei Variablen. k: (− 1 − x M) 2 + (3 − y M) 2 = 29 ⇒ I: 2 x M + x M 2 − 6 y M + y M 2 = 19 k: (2 − x M) 2 + (− 4 − y M) 2 = 29 ⇒ II: − 4 x M + x M 2 + 8 y M + y M 2 = 9 Kompetenzen Muster 349 Ó Technologie Anleitung Quadratisches Gleichungssystem lösen ip7f29 Ó Arbeitsblatt Quadratisches Gleichungssystem ohne Technologieeinsatz lösen 3ms8pp Technologie Ó Technologie Anleitung Kreisgleichung aus drei Punkten aufstellen 4jf7wk 350 351 352 r r r r A B k2 k1 M1 M2 Muster 353 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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