102 Kreis und Kugel > Kreisgleichungen Nicht jede Gleichung der Form x 2 + y 2 + ax + by + c = 0mit a,b,c ∈ ℝ beschreibt eine Kreislinie. Die Gleichung x2 + y 2 + 2 x − 4 y + 6 = 0beschreibt zum Beispiel keine Kreislinie. Begründe, dass die obige Gleichung nur dann eine Kreisgleichung ist, wenn a 2 + b 2 > 4 cgilt. Um mit Hilfe der Kreisgleichung Punkte auf der Kreislinie zu berechnen, kann man eine Koordinate frei wählen und die zweite Koordinate mit Hilfe der Kreisgleichung berechnen. Z.B. P = (x|4 ) ⇒ (x + 3) 2 + (4 − 2) 2 = 25 ⇒ x 2 + 6 x + 9 + 4 = 25 ⇒ x 2 + 6 x − 12 = 0 Die Lösungen dieser Gleichung ergeben die x-Werte der beiden Punkte P 1und P2, die auf dem Kreis liegen und deren y-Wert 4 ist. x 1 ≈ − 7, 58; x2 ≈ 1, 58 ⇒ P 1 = (− 7, 58|4 ); P 2 = (1, 58|4 ) Bestimme die fehlende Koordinate von P so, dass P auf der Kreislinie k: (x − 2) 2 + (y + 1) 2 = 36 liegt. a) P = (x|2 ) b) P = (0|y ) c) P = (− 1|y ) d) P = (7|y ) e) P = (x|−4) Ermittle die Koordinaten dreier Punkte, die auf der Kreislinie k liegen. a) k: (x − 4) 2 + (y + 3) 2 = 25 c) k: x 2 + y 2 = 36 e) k: 3 x2 + 3 y2 = 48 b) k: (x − 1) 2 + y 2 = 4 d) k: (x − 2) 2 + (y − 3) 2 = 9 f) k: x 2 + y 2 = 9 Bestimme die Schnittpunkte des Kreises k mit den Koordinatenachsen. a) k: x 2 + y 2 − 12 x − 4 y = 12 b) k: (x + 9) 2 + (y − 10) 2 = 100 c) k: (x − 2) 2 + (y + 2) 2 = 68 Ordne den angegebenen Kreislinien die passende Eigenschaft zu. 1 x 2 + (y − 3) 2 = 10 A Die Kreislinie hat den Mittelpunkt M = (− 2|−2). 2 (x − 2) 2 + (y − 2) 2 = 4 B Die Kreislinie berührt beide Koordinatenachsen. 3 (x + 4) 2 + (y − 5) 2 = 25 C Die Kreislinie verläuft durch den Punkt P = (0|0 ). 4 x 2 + y 2 = 8 D M liegt auf der y-Achse, aber nicht auf der x-Achse. E Die Kreislinie verläuft durch den Punkt P = (− 4|5 ). F Die Kreislinie berührt die x-Achse, aber nicht die y-Achse. Setzt man die Koordinaten des Punktes P = (6|7 ) in den linken Term der Kreisgleichung k: (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 25 ein, so erhält man den quadratischen Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M: (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = (6 − 3) 2 + (7 − 4) 2 = 18 = | ⎯ ⇀MP | 2 . Der quadratische Abstand vom Mittelpunkt ist also 18. Er ist somit kleiner als das Quadrat des Kreisradius r2 = 25. P liegt also innerhalb der Kreislinie k. Bestimme die Lagebeziehung der Punkte P und Q zur Kreislinie k. a) P = (6|−1), Q = (0|2 ) k: (x − 3) 2 + (y + 1) 2 = 9 b) P = (− 1|−1), Q = (2|3 ) k: (x + 2) 2 + (y + 4) 2 = 16 Der Punkt P = (4|3 ) liegt (1) der Kreislinie k: x2 + y 2 = 36mit Mittelpunkt M, weil (2) . 342 343 344 345 346 x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 k |M P | (6 – 3) (7 – 4) P = (6 1 7) M(3 1 4) r = 5 347 348 (1) (2) auf ‾MP < 6 innerhalb ‾MP < 36 außerhalb ‾MP < 0 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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