Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

102 Kreis und Kugel > Kreisgleichungen Nicht jede Gleichung der Form x​ ​2 ​+ ​y ​2 ​+ ax + by + c = 0​mit ​a,b,c ∈ ℝ ​beschreibt eine Kreislinie. Die Gleichung ​x​2 ​+ ​y ​2 ​+ 2 x − 4 y + 6 = 0​beschreibt zum Beispiel keine Kreislinie. Begründe, dass die obige Gleichung nur dann eine Kreisgleichung ist, wenn a​ ​2 ​+ ​b ​2 ​> 4 c​gilt. Um mit Hilfe der Kreisgleichung Punkte auf der Kreislinie zu berechnen, kann man eine Koordinate frei wählen und die zweite Koordinate mit Hilfe der Kreisgleichung berechnen. Z. B. P​ = ​(x ​| ​4) ​⇒ ​(x + 3) ​2 ​+ ​(4 − 2) ​2 ​= 25 ⇒ ​x ​2 ​+ 6 x + 9 + 4 = 25 ⇒ ​x ​2 ​+ 6 x − 12 = 0​ Die Lösungen dieser Gleichung ergeben die x-Werte der beiden Punkte P​ ​1​und ​P​2​, die auf dem Kreis liegen und deren y-Wert 4 ist. ​x ​1 ​≈ − 7,58​; ​x​ 2 ​≈ 1,58 ⇒ ​P ​1 ​= ​(− 7,58 | 4)​; ​P ​2 ​= ​(1,58 | 4)​ Bestimme die fehlende Koordinate von P so, dass P auf der Kreislinie ​k: ​(x − 2) ​2 ​+ ​(y + 1) ​2​ = 36 ​ liegt. a) ​P = ​(x ​| ​2)​ b) ​P = ​(0 ​| ​y)​ c) ​P = ​(− 1 ​| ​y)​ d) ​P = ​(7 ​| ​y)​ e) ​P = ​(x ​| ​−4)​ Ermittle die Koordinaten dreier Punkte, die auf der Kreislinie k liegen. a) ​k: ​(x − 4) ​2 ​+ ​(y + 3) ​2 ​= 25​ c) ​k: ​x ​2 ​+ ​y ​2 ​= 36​ e) ​k: 3 ​x​2 ​+ 3 ​y​2 ​= 48​ b) ​k: ​(x − 1) ​2 ​+ ​y ​2 ​= 4​ d) ​k: ​(x − 2) ​2 ​+ ​(y − 3) ​2 ​= 9​ f) ​k: ​x ​2 ​+ ​y ​2 ​= 9​ Bestimme die Schnittpunkte des Kreises k mit den Koordinatenachsen. a) ​k: ​x ​2 ​+ ​y ​2 ​− 12 x − 4 y = 12​ b) ​k: ​(x + 9) ​2 ​+ ​(y − 10) ​2 ​= 100​ c) ​k: ​(x − 2) ​2 ​+ ​(y + 2) ​2 ​= 68​ Ordne den angegebenen Kreislinien die passende Eigenschaft zu. 1 ​x ​2 ​+ ​(y − 3) ​2 ​= 10​ A Die Kreislinie hat den Mittelpunkt ​M = ​(− 2 ​| ​−2).​ 2 ​(x − 2) ​2 ​+ ​(y − 2) ​2 ​= 4​ B Die Kreislinie berührt beide Koordinatenachsen. 3 ​(x + 4) ​2 ​+ ​(y − 5) ​2 ​= 25​ C Die Kreislinie verläuft durch den Punkt P​ = ​(0 ​| ​0).​ 4 ​x ​2 ​+ ​y ​2 ​= 8​ D M liegt auf der y-Achse, aber nicht auf der x-Achse. E Die Kreislinie verläuft durch den Punkt P​ = ​(− 4 ​| ​5).​ F Die Kreislinie berührt die x-Achse, aber nicht die y-Achse. Setzt man die Koordinaten des Punktes P​ = ​(6 ​| ​7)​ in den linken Term der Kreisgleichung k​: ​(x − 3) ​2 ​+ ​(y − 4) ​2 ​= 25​ ein, so erhält man den quadratischen Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M: ​(x − 3) ​2 ​+ ​(y − 4) ​2 ​= ​(6 − 3) ​2 ​+ ​(7 − 4) ​2 ​= 18 = ​|​ ⎯ ⇀MP​ | ​ 2 .​ Der quadratische Abstand vom Mittelpunkt ist also 18. Er ist somit kleiner als das Quadrat des Kreisradius r​​2 ​= 25.​ P liegt also innerhalb der Kreislinie k. Bestimme die Lagebeziehung der Punkte P und Q zur Kreislinie k. a) ​P = ​(6 ​| ​−1)​, ​Q = ​(0 ​| ​2) ​ ​k: ​(x − 3) ​2 ​+ ​(y + 1) ​2 ​= 9​ b) ​P = ​(− 1 ​| ​−1)​, ​Q = ​(2 ​| ​3) ​ ​k: ​(x + 2) ​2 ​+ ​(y + 4) ​2 ​= 16​ Der Punkt P​ = ​(4 ​| ​3) ​liegt (1) der Kreislinie ​k: ​x​2 ​+ ​y ​2 ​= 36​mit Mittelpunkt M, weil (2) . 342‌ 343‌ 344‌ 345‌ 346‌ x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 k |M P | (6 – 3) (7 – 4) P = (6 1 7) M(3 1 4) r = 5 347‌ 348‌ (1) (2) auf  ​‾MP ​< 6​  innerhalb  ​‾MP ​< 36​  außerhalb  ​‾MP ​< 0​  4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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