10 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution Substitution Das Lösen einer höhergradigen Gleichung durch Substitution stellt vor allem bei den so genannten biquadratischen Gleichungen eine geeignete Möglichkeit dar. Biquadratische Gleichung Algebraische Gleichungen der Art a · x2 n + b·xn + c = 0mit a, b ≠ 0und n ∈ ℕ (n ≥ 2) werden als biquadratische Gleichungen bezeichnet. Kreuze die biquadratischen Gleichungen an. A B C D E 3 x 4 + 2 x − 1 = 0 x 4 + x 2 = − 2 6 x 8 − 4 x 4 + x = 0 7 x 6 − 3 x 3 + 2 = 0 x 4 + 5 = − x 8 Löse die Gleichung x4 + 5 x2 − 36 = 0in ℝ. Man ersetzt (substituiert) in der Gleichung x 2 durch u und erhält die quadratische Gleichung u 2 + 5 u − 36 = 0. Diese Gleichung wird mit der kleinen Lösungsformel gelöst: u 1,2 = − 5 _ 2 ± 9 _ 25 _ 4 + 36= − 5 _ 2 ± 9 _ 169 _ 4 = − 5 _ 2 ± 13 _ 2 → u 1 = − 9 bzw. u 2 = 4 In x 2 = usetzt man für u die Werte − 9bzw. 4 ein und erhält die Lösungen der Gleichung: x 2 = − 9 → x 1,2 = ± 9 _ − 9 ∉ ℝ x 2 = 4 → x 3 = 2 bzw. x 4 = − 2 L={− 2; 2} Löse die Gleichung durch Substitution in ℝ. a) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 d) x 4 − 7 x 2 − 144 = 0 b) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 e) x 4 + 2 x2 − 15 = 0 c) x 4 + 13 x2 + 36 = 0 f) x 4 + 18 x2 + 72 = 0 Löse die Gleichung x6 + 7 x3 − 8=0inℝ. Man ersetzt x3 durch u und erhält u2 + 7u – 8 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen u 1 = − 8 und u 2 = 1. Nun werden in x 3 = udie Lösungen − 8und 1 für u eingesetzt und die Gleichungen in ℝ gelöst: x 3 = − 8 → x 3 + 8 = 0 → nach dem Satz von Horner gilt: (x + 2) (x 2 − 2 x + 4) = 0 Nun wird der Produkt-Null-Satz angewendet: x + 2 = 0 → x 1 = − 2 x 2 − 2 x + 4 = 0 → x 2,3 = 1 ± 9 _1 − 4=1±9 _ − 3 ∉ ℝ x 3 = 1 → x 3 − 1 = 0 → nach dem Satz von Horner gilt: (x − 1) (x 2 + x + 1) = 0 Durch Anwendung des Produkt-Null-Satzes erhält man: x − 1 = 0 → x 4 = 1 x 2 + x + 1 = 0 → x 5,6 = − 1 _ 2 ± 9 _ 1 _ 4 − 1 = − 1 _ 2 ± 9 _ − 3 _ 4 ∉ ℝ Die Lösungsmenge ist L = {− 2; 1}. Löse die Gleichung in der Menge ℝ. a) x 6 − 26 x 3 − 27 = 0 c) x 6 + 9 x3 + 8 = 0 e) x 6 + 217 x3 + 216 = 0 b) x 6 − 9 x 3 + 8 = 0 d) x 6 − 37 x 3 − 1728 = 0 f) x 6 + 124 x3 − 725 = 0 Merke 14 Muster 15 t 16 Muster 17 t 18 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=