Mathematik Oberstufe Lösungswege 7 Freiler | Marsik | Olf | Wittberger QuickMedia App für Lösungen
Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: olalalala / stock.adobe.com Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Frederic Brünner, Wien; Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11495-2 (Lösungswege OS SB 7 + E-Book) ISBN 978-3-209-11507-2 (Lösungswege OS SB 7 + E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13051-8 (Lösungswege OS SB 7 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13048-8 (Lösungswege OS SB 7 E-BOOK+ Solo) Lösungswege 7, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer 180205 Lösungswege 7, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 195125 Lösungswege 7, E-Book Solo Schulbuchnummer 207906 Lösungswege 7, E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 207907 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 31. August 2023, BMBWF-GZ: 2023-0.444.267, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Philipp Freiler | Julia Marsik Markus Olf | Markus Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege www.oebv.at 7 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. In der App-Medienliste findest du durchgerechnete Lösungen für alle mit markierten Aufgaben. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt So arbeitest du mit Lösungswege 4 Gleichungen höheren Grades Gleichungen höheren Grades 6 1.1 Lösen durch Herausheben und durch Substitution 7 1.2 Polynomdivision 11 1.3 Nullstellen von Polynomfunktionen 14 Tei®-1-Aufgaben 18 Tei®-2-Aufgaben 20 Se®bstkontro®®e 21 Einschub: Vorwissenschaftliches Arbeiten 22 Differentialrechnung Grundlagen der Differentialrechnung 24 2.1 Der Differenzenquotient 25 2.2 Der Differentialquotient 33 2.3 Einfache Ableitungsregeln 39 Tei®-1-Aufgaben 48 Tei®-2-Aufgaben 50 Se®bstkontro®®e 52 Untersuchung von Polynomfunktionen 54 3.1 Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 55 3.2 Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 65 3.3 Kurvendiskussion 76 3.4 Graphisches Differenzieren 78 3.5 Auffinden von Polynomfunktionen 83 3.6 Extremwertaufgaben 87 Tei®-1-Aufgaben 92 Tei®-2-Aufgaben 97 Se®bstkontro®®e 96 Nichtlineare analytische Geometrie Kreis und Kugel 98 4.1 Kreisgleichungen 99 4.2 Aufstellen von Kreisgleichungen 103 4.3 Lagebeziehung von Kreis und Gerade 105 4.4 Tangente an einen Kreis 108 4.5 Lagebeziehungen zweier Kreise 112 4.6 Die Kugelgleichung 114 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 117 Se®bstkontro®®e 118 Kegelschnitte 120 5.1 Die Ellipse 121 5.2 Die Hyperbel 127 5.3 Die Parabel 132 5.4 Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden 135 5.5 Tangenten an Kegelschnitte 138 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 143 Se®bstkontro®®e 144 Parameterdarstellung von Kurven 146 6.1 Kurven in der Ebene 147 6.2 Kurven im Raum 153 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 154 Se®bstkontro®®e 155 Funktionen Erweiterung der Differentialrechnung 156 7.1 Weitere Ableitungsregeln 157 7.2 Ableitung weiterer Funktionen 162 7.3 Weitere Kurvendiskussionen 166 7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 170 Tei®-1-Aufgaben 173 Tei®-2-Aufgaben 174 Se®bstkontro®®e 176 1 2 3 4 5 6 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Anwendung der Differentialrechnung 178 8.1 Anwendungen aus der Wirtschaft 179 8.2 Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin 186 8.3 Extremwertaufgaben 189 8.4 Innermathematische Anwendungen 190 Tei®-1-Aufgaben 193 Tei®-2-Aufgaben 194 Se®bstkontro®®e 195 Reflexion: Mathematik und Naturwissenschaften 196 Einschub: Mündliche Matura 198 Stochastik Diskrete Zufallsvariablen 200 9.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 201 9.2 Verteilungsfunktion 206 9.3 Erwartungswert und Standardabweichung 209 Tei®-1-Aufgaben 216 Tei®-2-Aufgaben 217 Se®bstkontro®®e 219 Reflexion: Das Simpson Paradoxon 221 Binomialverteilung und weitere Verteilungen 222 10.1 Binomialkoeffizient – Kombinatorik 223 10.2 Binomialverteilung 229 10.3 Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen 235 10.4 Hypergeometrische Verteilung 239 10.5 Geometrische Verteilung 241 Tei®-1-Aufgaben 243 Tei®-2-Aufgaben 245 Se®bstkontro®®e 246 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen 248 11.1 Die imaginäre Einheit 249 11.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung 254 11.3 Lösen von Gleichungen 257 11.4 Fundamentalsatz der Algebra 259 11.5 Polardarstellung von komplexen Zahlen 261 11.6 Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 263 Tei®-1-Aufgaben 267 Tei®-2-Aufgaben 268 Se®bstkontro®®e 269 Anhang Beweise 270 Lösungen 278 Mathematische Zeichen 286 Register 287 Bildnachweis 288 8 9 10 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Hier gibt es eine On®ine-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inha®ten. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / On®ine-Code Suchen So arbeitest Du mit Lösungswege Liebe Schü®erin, ®ieber Schü®er, auf dieser Doppe®seite wird dir gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege strukturiert und aufgebaut ist. 6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens ? 7 Kompetenzen 1.3 Prozentrechnen Lernzie®e: º º º Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: Vorwissen Theorie Technologie Merkwissen 1 Musteraufgabe mit Lösungen Tipp: Tipp Vorwissen Technologie Merke Muster Die Motivationsseite ist die erste Seite des Kapite®s und so®® Interesse für das Kapite® schaffen. Jedes Kapite® g®iedert sich in mehrere Unterkapite®, die durchnummeriert sind. Die Lernzie®e und Grundkompetenzen geben dir eine Übersicht über die wesent®ichen Themen des Abschnittes. Im Vorwissen wird kompakt der für das Fo®gende grund®egende und bereits ge®ernte Stoff zusammengeste®®t. In der Theorie werden die mathematischen Begriffe eingeführt und erk®ärt. Wo es sich anbietet, werden Tipps zum Techno®ogieeinsatz gegeben. Im Merkwissen werden zentra®e Inha®te zusammengefasst. Hi®feste®®ungen erhä®tst du bei den Tipps. Die Musteraufgaben zeigen Lösungsverfahren für wesent®iche Frageste®®ungen auf. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Auszeichnung der Aufgaben Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Aufgabe zur Ref®exion über die Mathematik Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung Aufgaben, die ohne Taschenrechner zu ®ösen sind (Unter-)Aufgaben, die im digitalen Zusatzmaterial und in der Quick Media App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®‑2-(ähnliche) Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 6 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 10 > Prozentrechnen Zusammenfassung Am Ende des ®etzten Unterkapite®s werden in der Zusammenfassung die wesent®ichen Inha®te aufgezeigt. 11 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-1-Aufgaben Tei®-1-Aufgaben 13 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-2-Aufgaben Tei®-2-Aufgaben 14 1 > Selbstkontrolle Se®bstkontro®®e Bei der Se®bstkontro®®e werden die Lernzie®e nochma®s benannt und entsprechende Aufgaben angeboten, deren Lösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Im Bereich Tei®-1-Aufgaben befinden sich Aufgaben passend zum Tei®-1 der SRDP. Die Lösungen befinden sich am Ende des Buches. Passend zum Teil-2 der SRDP werden hier entsprechende Aufgaben abgestimmt auf das Kapite® angeboten. Die erste Aufgabe ist kontextreduziert. 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 Gleichungen höheren Grades Chat mit Paul Ernstgemeinter Vorschlag: Erfinde ihm eine Gleichung, deren Lösung das Datum von „eurem Tag“ ist. Sehr witzig. ♥♥ Ich würde ihm gerne etwas Besonderes schenken, hast du eine Idee? Wir sind am 21.8. zusammengekommen. Gibt es eine Gleichung, die zwei Lösungen hat, und zwar genau „21“und „8“? Es gibt Neuigkeiten! 論 Ich bin seit letzter Woche mit Alan zusammen. Finde seine Lieblingsprogrammiersprache heraus und schreib ihm damit etwas Romantisches. 藍 Sicher: Quadratische Gleichungen! Das haben wir doch letztes Jahr gelernt. Kannst du dich nicht mehr an die Sätze von Vieta erinnern? (x – 21) · (x – 8) = 0 kann man ausmultiplizieren zu x2 – 29 x + 168 = 0. Und diese Gleichung hat genau die gewünschten Lösungen! Ist das nicht dieser Computer-Freak aus der Nachbarschule? Mit den heute in der Schu®e zur Verfügung stehenden technischen Mitte®n und Programmen kann man G®eichungen „auf Knopfdruck“ ®ösen. Das ist sehr bequem und Rechenfeh®er werden dadurch vermieden. A®®erdings verhindert die Anwendung so®cher technischer Hi®fsmitte® oft auch Einb®icke in mathematische Zusammenhänge und Erkenntnisse. Das ist so ähn®ich, wie bei der Suche eines Weges in einer fremden Stadt. Es ist sicher®ich bequem, ein GPS ge®eitetes Navigationssystem zu verwenden, und es verhindert sicher®ich auch Um- und Irrwege. A®®erdings b®eiben uns dadurch auch vie®e Erkenntnisse und Einb®icke in die Zusammenhänge einer Stadt verwehrt. Das vollständige Datum war eigentlich der 21.8.2024. Wie man eine Gleichung mit den Lösungen „21“, „8“ und „2024“ erfindet (oder mit beliebigen anderen Zahlen), erfährst du im folgenden Kapitel. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 Lösen durch Herausheben und durch Substitution Lernziele: º Die Definition einer algebraischen Gleichung kennen º Algebraische Gleichungen durch Herausheben lösen können º Algebraische Gleichungen durch Anwenden der Horner’schen Regel lösen können º Biquadratische Gleichungen erkennen können º Biquadratische Gleichungen durch eine passende Substitution lösen können Die Lösung einer einfachen linearen Gleichung a x + b = 0(a ≠ 0) kann durch Anwenden von Äquivalenzumformungen schnell gefunden werden und ist x = − b _ a . Auch die Lösungen allgemeiner quadratischer Gleichungen der Art a · x2 + b · x + c = 0 können durch Anwenden der Lösungsformel ermittelt werden: x 1,2 = − b ± 9 _b 2 − 4 ac _ 2 a . Dabei ist jedoch zu beachten, dass quadratische Gleichungen aufgrund des Vorzeichens der Zahl unter der Wurzel in ℝ nicht immer lösbar sein müssen. Löse die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. a) 2 (x − 3) + 5 x2 = − (2 x + 3) + 5 (x − 1) 2 c) x 2 + 10 x + 34 = 0 b) (3 x − 1) 2 + 4 + x = (3 x − 2) (3 x + 2) d) 16 x 2 − 24 x + 9 = 0 Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist (Produkt-NullSatz). Dieser Satz erweist sich beim Finden der Lösungen bestimmter Gleichungen als nützlich. Löse die Gleichung unter Verwendung des Produkt-Null-Satzes. a) (x − 3) (x + 2) = 0 c) x (x 2 − 6 x + 9) = 0 e) (x + 1) (x 2 + 4 x + 4) = 0 b) x (x − 1) (x + 2) = 0 d) 5 x 2 (x 2 − 3 x − 4) = 0 f) x (x − 4) (x 2 − 2 x + 1) = 0 Im Folgenden werden Gleichungen, deren Grad größer als zwei ist, in der Menge der reellen Zahlen auf ihre Lösbarkeit hin untersucht. Dabei betrachtet man ausschließlich so genannte algebraische Gleichungen. Algebraische Gleichung Eine Gleichung der Art a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0= 0mit an ≠ 0 und n ∈ ℕ \ {0}, a 0, a 1, …, an ∈ ℝ wird als algebraische Gleichung vom Grad n mit reellen Koeffizienten bezeichnet. a0 heißt konstantes oder absolutes Glied. Gilt für den führenden Koeffizienten a n = 1, dann spricht man von einer normierten algebraischen Gleichung oder von der Normalform. Algebraische Gleichungen können, abhängig von ihrer Gestalt, mit unterschiedlichen Methoden gelöst werden. Kompetenzen Vorwissen 1 t 2 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution 1 Herausheben (Faktorisieren) Das Lösen durch Herausheben der Variable ist nur dann möglich, wenn a 0null ist. Löse die Gleichung x3 + 4 x2 − 45 x = 0in der Menge der reellen Zahlen. Hebe die Variable heraus: x · (x 2 + 4 x − 45) = 0. Das Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist (ProduktNull-Satz). D. h.: x1= 0oder x 2 + 4 x − 45 = 0. x 2,3 = − 4 _ 2 ± 9 _ ( 4 _ 2) 2 + 45= − 2 ± 9 _4 + 45= − 2 ± 9 _ 49 = − 2 ± 7 Die Lösungen lauten: x1 = 0 x 2 = 5 x 3 = − 9 L={− 9; 0; 5} Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben. a) x 3 + 9 x2 + 14 x = 0 d) 2 x 3 + 3 x2 − 5 x = 0 g) 3 x 4 − 30 x 3 = 0 j) 4 x 5= 5 x4 b) x 3 + 3 x2 − 88 x = 0 e) 6 x 4 + x 3 − x 2 = 0 h) 2 x 4 − 18 x 3 = 0 k) 3 x 5= 12 x3 c) x 3 − 8 x 2 + 16 x = 0 f) x 4 + 14 x3 + 49 x2 = 0 i) 2 x 5 + 6 x4 = 0 l) x 6 − 49 x 4 = 0 Lösen von Gleichungen Geogebra: Löse(Gleichung, Variable) Löse( x 3 + 3 x2 – 4x = 0,x) {x = − 4, x = 0, x = 1} Casio: solve(Gleichung, Variable) solve(4 x2 + x – 5 = 0, x) {x = − 5 _ 4, x = 1} TI-Nspire: solve(Gleichung, Variable) solve(4 x2 + x – 5 = 0, x) {x = − 5 _ 4, x = 1} Neben dem Herausheben der Variablen wird oft auch die binomische Formel a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b) zum Faktorisieren verwendet. Löse die Gleichung a) x 2 − 144 = 0 b) x 4 − 16 = 0in ℝ. Durch Anwenden der binomischen Formel lässt sich der Term der Gleichung in ein Produkt zerlegen und der Produkt-Null-Satz anwenden. a) x 2 − 144 = 0 → (x − 12) (x + 12) = 0 → x − 12 = 0oder x + 12 = 0 → x 1 = 12, x2 = − 12 Die Lösungsmenge ist L = {− 12; 12}. b) Anwenden der binomischen Formel: x 4 − 16 = (x 2 − 4) · (x 2 + 4)= 0 x2 − 4 = 0oder x2 + 4 = 0 → x 2= 4oder x2 = − 4 → x 1,2= ± 2oder x3,4 = ± 9 _ − 4 ∉ ℝ Die Lösungsmenge ist L = {− 2; 2}. Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit der binomischen Formel in ℝ. a) x 2 − 4 = 0 c) x 2 − 49 = 0 e) x 4 − 1 _ 16 = 0 b) x 2 − 9 = 0 d) x 4 − 144 = 0 f) x 4 − 1 _ 100 = 0 Löse die Gleichung mit Technologie. a) x 4 − 81 = 0 b) x 4 − 256 = 0 c) x 6 − 1 = 0 d) x 6 − 64 = 0 Auch die Horner’sche Regel (benannt nach William George Horner, 1786 –1837, einem englischen Mathematiker und Pädagogen) für Terme der Form a n − b n (n ∈ ℕ \ {0}) kann zum Faktorisieren verwendet werden. Muster 3 t 4 Technologie Muster 5 t 6 7 Ó Technologie Anleitung Lösen von Gleichungen 26ne7w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution Horner’sche Regel a n − b n = (a − b) · (a n−1 + a n−2 ·b + an−3 · b 2 +…+a2 · b n−3 + a·bn−2 + b n−1) a, b ∈ ℝ, n ∈ ℕ \ {0} Löse die Gleichung x3 − 8 = 0 in ℝ. Nach der Regel von Horner gilt: x 3 − 8 = x 3 − 2 3 = (x − 2) · (x 2 + x·2 + 22) = (x − 2) · (x 2 + 2 x + 4). Wegen des Produkt-Null-Satzes gilt für die Gleichung (x − 2) · (x 2 + 2 x + 4) = 0: x − 2 = 0oder x2 + 2 x + 4 = 0 → x 1 = 2oder x2,3 = − 1 ± 9 _1 − 4 = − 1 ± 9 _ − 3 ∉ ℝ. Die Lösungsmenge lautet: L = {2}. Zeige, dass die Gleichung nur eine reelle Lösung besitzt. a) x 3 − 27 = 0 c) x 3 − 125 = 0 e) x 3 + 1 _ 8 = 0 b) x 3 − 64 = 0 d) x 3 + 1 = 0 f) x 3 + 1 _ 27 = 0 Tipp: Beachte, dass x3 +1=x3 − (− 1) 3 gilt. Zeige durch Ausmultiplizieren die Gültigkeit der Horner’schen Regel in ℝ. Löse die Gleichung in ℝ mithilfe der binomischen Formel und der Horner’schen Regel. a) x 6 − 1 = 0 b) x 6 − 64 = 0 c) x 6 − 729 = 0 d) x 6 − 4 096 = 0 Tipp: x 6 − 1 = (x 3 − 1) (x 3 + 1) Faktorisieren Geogebra: Faktorisiere(Term) Faktorisiere(x2 − 9) (x + 3) (x – 3) Casio: factor(Term) factor (x2 – 64) (x – 8) (x + 8) TI-Nspire: factor(Term) factor(x4 − 16) (x + 2) (x – 2) (x2 + 4) Wenn möglich, können auch mehrgliedrige Terme herausgehoben und danach die binomischen Formeln, die Horner’sche Regel bzw. die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewendet werden. Löse die Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 1) − 15 (x 2 − 1) = 0in der Menge der reellen Zahlen. Hebe den Faktor x2 − 1heraus: (x 2 − 1) (x 2 − 1 − 15) = (x 2 − 1) (x 2 − 16) = 0. Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: x2 − 1 = 0oder x2 − 16 = 0. Die Lösungen der beiden Gleichungen lauten x 1 = 1, x2 = − 1, x 3 = 4, x4 = − 4. L = {4; − 1; 1; 4} Löse die Gleichung durch Faktorisieren in der Menge ℝ. a) 4 x 2 (x − 2) − (x − 2) = 0 d) (x 2 + 2 x) (x 2 − 4) = 15 (x 2 − 4) b) 2 5 x 2 (x + 1) − (x + 1) = 0 e) (x 2 − 1) (x 2 + x) − 20 (x 2 − 1) = 0 c) x 2 (x − 5) = 3 x (x − 5) f) (x 2 − 3 x − 40) (x 2 + 50) = 2 x (x 2 − 3 x − 40) Merke Muster 8 t 9 10 t 11 Technologie Muster 12 t 13 Ó Arbeitsblatt Lösen von Gleichungen wm7rv2 Ó Technologie Anleitung Faktorisieren 26qp57 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution Substitution Das Lösen einer höhergradigen Gleichung durch Substitution stellt vor allem bei den so genannten biquadratischen Gleichungen eine geeignete Möglichkeit dar. Biquadratische Gleichung Algebraische Gleichungen der Art a · x2 n + b·xn + c = 0mit a, b ≠ 0und n ∈ ℕ (n ≥ 2) werden als biquadratische Gleichungen bezeichnet. Kreuze die biquadratischen Gleichungen an. A B C D E 3 x 4 + 2 x − 1 = 0 x 4 + x 2 = − 2 6 x 8 − 4 x 4 + x = 0 7 x 6 − 3 x 3 + 2 = 0 x 4 + 5 = − x 8 Löse die Gleichung x4 + 5 x2 − 36 = 0in ℝ. Man ersetzt (substituiert) in der Gleichung x 2 durch u und erhält die quadratische Gleichung u 2 + 5 u − 36 = 0. Diese Gleichung wird mit der kleinen Lösungsformel gelöst: u 1,2 = − 5 _ 2 ± 9 _ 25 _ 4 + 36= − 5 _ 2 ± 9 _ 169 _ 4 = − 5 _ 2 ± 13 _ 2 → u 1 = − 9 bzw. u 2 = 4 In x 2 = usetzt man für u die Werte − 9bzw. 4 ein und erhält die Lösungen der Gleichung: x 2 = − 9 → x 1,2 = ± 9 _ − 9 ∉ ℝ x 2 = 4 → x 3 = 2 bzw. x 4 = − 2 L={− 2; 2} Löse die Gleichung durch Substitution in ℝ. a) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 d) x 4 − 7 x 2 − 144 = 0 b) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 e) x 4 + 2 x2 − 15 = 0 c) x 4 + 13 x2 + 36 = 0 f) x 4 + 18 x2 + 72 = 0 Löse die Gleichung x6 + 7 x3 − 8=0inℝ. Man ersetzt x3 durch u und erhält u2 + 7u – 8 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen u 1 = − 8 und u 2 = 1. Nun werden in x 3 = udie Lösungen − 8und 1 für u eingesetzt und die Gleichungen in ℝ gelöst: x 3 = − 8 → x 3 + 8 = 0 → nach dem Satz von Horner gilt: (x + 2) (x 2 − 2 x + 4) = 0 Nun wird der Produkt-Null-Satz angewendet: x + 2 = 0 → x 1 = − 2 x 2 − 2 x + 4 = 0 → x 2,3 = 1 ± 9 _1 − 4=1±9 _ − 3 ∉ ℝ x 3 = 1 → x 3 − 1 = 0 → nach dem Satz von Horner gilt: (x − 1) (x 2 + x + 1) = 0 Durch Anwendung des Produkt-Null-Satzes erhält man: x − 1 = 0 → x 4 = 1 x 2 + x + 1 = 0 → x 5,6 = − 1 _ 2 ± 9 _ 1 _ 4 − 1 = − 1 _ 2 ± 9 _ − 3 _ 4 ∉ ℝ Die Lösungsmenge ist L = {− 2; 1}. Löse die Gleichung in der Menge ℝ. a) x 6 − 26 x 3 − 27 = 0 c) x 6 + 9 x3 + 8 = 0 e) x 6 + 217 x3 + 216 = 0 b) x 6 − 9 x 3 + 8 = 0 d) x 6 − 37 x 3 − 1728 = 0 f) x 6 + 124 x3 − 725 = 0 Merke 14 Muster 15 t 16 Muster 17 t 18 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 1.2 Polynomdivision Lernziele: º Algebraische Gleichungen durch Abspalten eines Linearfaktors lösen können º Die Polynomdivision zum Abspalten eines linearen Faktors einsetzen können Satz von Vieta Für quadratische Gleichungen x2 + p x + q = 0bzw. a x2 + b x + c = 0mit den Lösungen x 1und x2 gilt: x 2 + p x + q = (x − x 1) · (x − x 2)bzw. a x 2 + b x + c = a · (x − x 1) · (x − x 2) Zerlege den quadratischen Term der Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 − x − 6 = 0 c) x 2 + 2 x − 35 = 0 e) 2 x 2 + x − 10 = 0 b) x 2 − 5 x + 4 = 0 d) x 2 + 9 x + 20 = 0 f) 4 x 2 + 31 x − 8 = 0 Finde eine quadratische Gleichung, die die gegebenen Lösungen besitzt. a) 3; 2 b) 4; 4 c) − 1; − 7 d) − 5; 9 e) 8; − 10 Die Zerlegung in Linearfaktoren kann auch auf Terme und Gleichungen vom Grad > 2 erweitert werden. Zeige durch Ausmultiplizieren, dass die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens äquivalent sind. a) x 3 − 3 x 2 − 13 x + 15 = (x − 1) (x + 3) (x − 5) c) x 3 − 3 x 2 − 24 x + 80 = (x + 5) (x − 4) 2 b) x 3 − 3 x 2 − 54 x = x(x + 6) (x − 9) d) x 3 + 21 x2 + 147x + 343 = (x + 7) 3 Finde eine Gleichung dritten Grades, die die gegebenen Lösungen besitzt. a) 1; − 2; 3 b) − 1; 0; 1 c) − 2; − 2; 3 d) 0; 4; 4 e) 5; 5; 5 Welche der Gleichungen haben die Lösungen 3; 4; − 1und 1? Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an. A (x + 3) · (x + 4) · (x − 1) · (x + 1) = 0 B (x − 3) · (x − 4) · (x − 1) · (x + 1) = 0 C (x − 3) · (x + 4) · (x 2 + 1) = 0 D (x 2 − 7 x + 12) · (x 2 − 1) = 0 E (x 2 − 7 x + 12) · (x 2 + 1) = 0 Gegeben ist die Gleichung x · (2 x − 8) · (x + 1) · (x − 10) 2 = 0. Wie lauten die Lösungen der Gleichung? Kreuze die zutreffende Aussage an. A B C D E F − 4; 1; 10 − 10; 4; 1; 10 − 10; − 4; − 1; 10 − 1; 0; 4; 10 − 4; − 1; 0; 10 − 10; 0; 1; 4; 10 Kompetenzen VoMrweirsksen t 19 t 20 t 21 t 22 23 24 Ó Arbeitsblatt Zerlegung in Linearfaktoren rd59er Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Gleichungen höheren Grades > Polynomdivision 1 Polynomdivision Bei der Polynomdivision dividiert man nicht nur Zahlen, sondern ganze Terme. Die Vorgangsweise ist dieselbe wie bei der Division natürlicher Zahlen. Division von Zahlen Polynomdivision 2772 : 12 = 2,da 27 : 12 = 2 (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2, da x3 : x = x 2 2772 : 12 = 2 − 24 Das Produkt 2 ·12von 27 subtrahieren. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 − (x 3 + 3 x2) Das Produkt (x + 3) · x 2 von x 3 + 4 x2 + 2 x − 3subtrahieren. 2772 : 12 = 2 − 24 37 Nach der Subtraktion die nächste Ziffer anschreiben. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x S ubtrahieren und den nächsten Term anschreiben. 2772 : 12 = 23, da 37 : 12 = 3 − 24 37 (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x, da x2 : x = x − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x 2772 : 12 = 23 − 24 37 − 36 Zurückmultiplizieren und subtrahieren. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x − (x 2 + 3 x) Das Produkt x · (x + 3) von x 2 + 2 xsubtrahieren. 2772 : 12 = 231 − 24 37 − 36 12 − 12 0 Rest Die beschriebenen Verfahren noch einmal anwenden und die Division abschließen. (x 3 + 4 x2 + 2 x − 3) : (x + 3) = x 2 + x − 1 − (x 3 + 3 x2) x 2 + 2 x − (x 2 + 3 x) − x − 3 − (− x − 3) 0 Rest Die Polynomdivision kann verwendet werden, um durch Abspalten eines linearen Faktors den Grad einer algebraischen Gleichung um 1 zu verringern. Betrachtet man zum Beispiel die Gleichung x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = 0mit den Lösungen x 1 = 1, x 2= 3und x3 = 5, so lässt sich diese in der Form (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) = 0anschreiben. Es ist dann: x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) Dividiert man die Gleichung nun beispielsweise durch (x − 5)erhält man: x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = (x − 1) · (x − 3) · (x − 5) | : (x − 5) (x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15) : (x − 5) = (x − 1) · (x − 3) Man sagt: Der lineare Faktor (x − 5) wird abgespalten. Der Quotient hat den Grad zwei. Das konstante Glied − 15ergibt sich (vom Vorzeichen abgesehen) als Produkt aller auftretenden Lösungen: 15 = 1 · 3 · 5. Dies kann dazu genutzt werden, um eine ganzzahlige Lösung der Gleichung durch Probieren zu finden. Falls eine ganzzahlige Lösung existiert, muss sie ein Teiler des konstanten Gliedes sein. Findet man einen solchen Teiler, kann der entsprechende Linearfaktor abgespalten werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 Gleichungen höheren Grades > Polynomdivision Bestimme die Lösungen der Gleichung x 3 + 6 x2 − x − 30 = 0in ℝ. Zerlege dazu den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. Das konstante Glied − 30hat die Teilermenge T = {± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30}. Diese Zahlen kommen als ganzzahlige Lösungen der Gleichung in Frage. Durch Probieren ergibt sich z.B. x1= 2als eine Lösung, denn 2 3 + 6·22 − 2 − 30 = 0. Mittels einer Polynomdivision kann der Linearfaktor (x − 2)abgespalten werden: (x 3 + 6 x2 − x − 30) : (x − 2) = x 2 + 8 x + 15 − x 3 + 2 x2 8 x 2 − x − 8 x 2 + 16 x 15 x − 30 − 15 x − 30 0 Rest Es gilt also: x 3 + 6 x2 − x − 30 = (x 2 + 8 x + 15) · (x − 2) = 0 Man wendet den Produkt-Null-Satz an: x 2 +8x+15=0 → x 2 = − 5 x 3 = − 3 Die Lösungsmenge der Gleichung lautet L = {− 5; − 3; 2}. Abspalten eines Linearfaktors Kennt man von einer Gleichung der Form p (x) = 0(p ist ein Polynom n-ten Grades, n > 1) die Lösung x 1, kann p(x) durch den Faktor (x − x 1) dividiert werden. Dadurch entsteht ein Polynom vom Grad (n − 1). Man sagt: Der Linearfaktor (x − x 1)wird abgespalten. Löse die Gleichung in ℝ durch Abspalten eines Linearfaktors. a) x 3 − 5 x 2 + 17 x − 13 = 0 c) x 3 − 6 x 2 + 18 x − 40 = 0 e) x 3 − 7 x 2 + 12 x + 20 = 0 b) x 3 + x 2 + 4 x + 30 = 0 d) x 3 − 5 x 2 − 7x+51=0 f) x 3 + x 2 − 7x+65=0 Löse die Gleichung in ℝ und zerlege den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 5 x 3 − 4 x 2 − 11 x − 2 = 0 c) 8 x 3 + 22 x2 − 7 x − 3 = 0 e) x 4 + 9 x3 + 23 x2 + 3 x − 36 = 0 b) 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x = 0 d) x 3 + x 2 − x − 1 = 0 f) x 4 − 8 x 3 + 24 x2 − 32 x + 16 = 0 Löse die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. a) x 3 + x 2 − x − 1 = 0 d) x 3 − 13 x + 12 = 0 g) x 4 − 9 x 2 − 4 x + 12 = 0 b) x 3 − x 2 − 100 = 0 e) x 3 − 6 x 2 − 14 x + 104 = 0 h) x 4 − x 3 − 21 x 2 + 45 x = 0 c) 5 x 3 − 10 x 2 + x − 2 = 0 f) 2 x 3 − 14 x − 12 = 0 i) x 4 − x 3 − 33 x 2 − 63 x = 0 Beim Lösen algebraischer Gleichungen können gleiche Lösungen auftreten. In diesem Fall spricht man von Mehrfachlösungen. Die Gleichung x3 − x 2 − 21 x + 45 = 0hat die Lösungen x 1 = x 2 = − 5(Doppellösung der Gleichung) und x 3 = 3. Die Gleichung dritten Grades hat zwei (unterschiedliche) Lösungen. Für die Linearfaktorzerlegung des Terms gilt: x 3 − x 2 − 21 x + 45 = (x + 5) (x + 5) (x − 3) = (x + 5) 2 (x − 3) Wie viele (unterschiedliche) Lösungen hat die Gleichung? Gib auch deren Vielfachheit an. a) 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 c) x 3 + 9 x2 +27x+27=0 b) 2 x 3 + 7 x2 + 4 x − 4 = 0 d) x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x + 9 = 0 Gib den Grad der Gleichung, die Lösungen und deren Vielfachheit an. a) (x − 3) 2 (x + 5) = 0 c) (x + 4) 2 (x − 4) 2 = 0 e) x 2 (x − 1) (x + 8) = 0 b) (5 x + 1) 3 = 0 d) (2 x − 1) 5 = 0 f) x (x + 2) 2 (x − 3) 3 = 0 Gib eine Gleichung vom Grad 3 an, die a) genau eine Lösung b) genau zwei Lösungen c) genau drei verschiedene Lösungen besitzt. Muster 25 Ó Arbeitsblatt Polynomdivision gt484z Merke t 26 27 28 29 t 30 t 31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 1.3 Nullstellen von Polynomfunktionen Lernziele: º Die Definition von Polynomfunktionen kennen º Die Definition der Nullstellen von Polynomfunktionen kennen º Die Nullstellen von Polynomfunktionen bestimmen können º Die Bedeutung von mehrfachen Nullstellen kennen Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 4.4 D en Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen […] wissen Polynomfunktion vom Grad n Eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + … a 1 x + a0 mit a n, a n−1, …, a0 ∈ ℝ, a n ≠ 0, n ∈ ℕ \ {0}, heißt Polynomfunktion vom Grad n. Jene Stellen, an denen der Graph von f die x-Achse (waagrechte Achse) schneidet, werden als Nullstellen bezeichnet. Nullstelle Ist f eine reelle Funktion, dann heißt eine Stelle a ∈ ℝ Nullstelle von f, wenn f(a) = 0ist. Man erkennt den direkten Zusammenhang zu den algebraischen Gleichungen, wenn man beachtet, dass a genau dann eine Nullstelle von f ist, wenn a eine reelle Lösung der Gleichung f(x) = 0ist. Anzahl von Nullstellen Eine Polynomfunktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen. Anhand der Graphen der Polynomfunktionen 3. Grades f, g und h soll diese Aussage veranschaulicht werden. x f(x) 1 2 3 –2 –1 5 10 15 20 –10 –5 0 f x g(x) 1 2 3 –2 –1 5 10 15 20 –10 –5 0 g x h(x) 1 2 3 –2 –1 5 10 15 20 –10 –5 0 h Kompetenzen VoMrweirsksen Merke Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Gleichungen höheren Grades > Nullstellen von Polynomfunktionen Um die Nullstellen zu bestimmen, sind die Gleichungen f(x)= 0, g(x) = 0und h(x) = 0zu lösen. f(x) = 0hat eine reelle Lösung, d.h. f hat eine (einfache) Nullstelle. g hat zwei Nullstellen, wobei es sich bei der zweiten Nullstelle (dem Berührpunkt des Graphen von g mit der x-Achse) um eine zweifache Nullstelle handelt. Diese Stelle tritt zweimal als Lösung der Gleichung g(x) = 0auf. h hat drei (einfache) Nullstellen. Mehr als drei Nullstellen sind bei Polynomfunktionen vom Grad 3 nicht möglich. Bestimme die Nullstellen der Funktion f. a) f(x) = x 3 − 3 x + 52 c) f(x) = x 3 − x 2 − 20 x e) f(x) = x 3 − 3 x + 2 b) f(x) = x 3 − 12 x + 16 d) f(x) = x 3 − 4 x 2 − 2 x + 20 f) f(x) = x 3 − x 2 − 6 x Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = x 4 − x 3 − 3 x 2 + 5 x − 2. Anhand des Graphen erkennt man, dass f die Nullstellen x 1 = − 2 und x 2 = 1besitzt. Es soll rechnerisch gezeigt werden, dass es sich bei x2um eine dreifache Nullstelle handelt. Dazu wird zunächst der Linearfaktor (x + 2)durch eine Polynomdivision abgespalten: (x 4 − x 3 − 3 x 2 + 5 x − 2) : (x + 2) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 Da x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = (x − 1) 3 gilt, handelt es sich bei x 2= 1um eine dreifache Nullstelle. Der Graph der Funktion f schmiegt sich an dieser Stelle an die x-Achse an. Mehrfache Nullstelle Ist x 0 eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion f, so schmiegt sich der Graph von f an dieser Stelle an die x-Achse (die waagrechte Achse) an. Zeige, dass es sich bei der Stelle x 0 um eine mehrfache Nullstelle handelt. a) f(x) = x 3 + 3 x2 − 24 x − 80, x 0 = − 4 c) f(x) = x 4 + 14 x3 + 60 x2 + 50 x − 125, x 0 = − 5 b) f(x) = x 3 − 9 x 2 + 15 x − 7, x 0 = 1 d) f(x) = x 4 + 2 x3 − 2 x − 1, x 0 = − 1 Gegeben ist der Graph einer normierten Polynomfunktion f. Gib die Funktionsgleichung von f an. Die Nullstellen sind ganzzahlig. a) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f b) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f c) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f Bestimme die Nullstellen der Polynomfunktion und gib deren Vielfachheit an. a) f(x) = x 2 + x − 20 d) f(x) = x 3 − 8 x 2 + 5 x + 50 b) f(x)= 5 x2 + 9 x − 2 e) f(x)= 2 x4 + 11 x3 + 18 x2 + 4 x − 8 c) f(x) = x 3 − 5 x 2 − 12 x − 14 f) f(x) = x 4 − 10 x 3 + 36 x2 − 54 x + 27 t 32 x f(x) 1 2 –2 –1 5 10 –5 0 f Muster 33 Merke 34 t 35 Ó Arbeitsblatt Bestimmen von Polynomfunktionen u4vg7y 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Gleichungen höheren Grades > Nullstellen von Polynomfunktionen 1 Welche der Nullstellen ist/sind einfach, welche mehrfach? Gib eine Begründung an. a) x f(x) x1 x2 f b) x f(x) x1 x2 f c) x f(x) x1 f d) x f(x) x1 f Wie viele verschiedene reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion vierten Grades haben? Veranschauliche ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen. Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades mit f(x)= a x3 + b x2 + c x + d (a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0). Wie viele reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion dieser Art besitzen? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A keine B mindestens eine C höchstens drei D genau vier E unendlich viele Vervollständige den Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Die Polynomfunktion mit der Gleichung (1) hat (2) . (1) (2) f(x) = x 3 − 1 keine Nullstelle f(x) = x 3 + 8 eine dreifache Nullstelle f(x) = (x + 2) 3 eine Doppelnullstelle Gegeben ist der Graph der Polynomfunktion f. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A x = 2ist eine Doppelnullstelle. B f ist eine Polynomfunktion 4. Grades C f ist eine quadratische Funktion. D f besitzt bei x = 0eine Nullstelle. E x = − 3ist eine dreifache Nullstelle. Gib eine Polynomfunktion vierten Grades mit den gegebenen Nullstellen an. a) − 1; 0; 1; 5 d) 1 (Doppelnullstelle); 4 (Doppelnullstelle) b) − 4(Doppelnullstelle); 3; 4 e) 5 (dreifache Nullstelle); 8 c) − 2(vierfache Nullstelle) f) 0 (vierfache Nullstelle) t 37 FA-R 4.4 M1 38 FA-R 4.4 M1 39 FA-R 4.4 M1 40 FA-R 4.4 M1 41 42 x f(x) 2 –6 –4 –2 40 80 –40 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Gleichungen höheren Grades > Nullstellen von Polynomfunktionen Zusammenfassung Algebraische Gleichung Eine Gleichung der Art a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0= 0mit a n ≠ 0, a0, a 1, …, an ∈ ℝ, n ∈ ℕ \ {0}wird als algebraische Gleichung vom Grad n mit reellen Koeffizienten bezeichnet. Ist der führende Koeffizient a n = 1, spricht man von einer normierten algebraischen Gleichung oder von der Normalform. Polynomfunktion vom Grad n Eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + … + a 1 x + a0 mit a n, a n−1, …, a0 ∈ ℝ, a n ≠ 0, n ∈ ℕ \ {0} heißt Polynomfunktion vom Grad n. Lösen algebraischer Gleichungen Algebraische Gleichungen kann man durch – Herausheben – Anwenden der Horner’schen Regel – Substitution – Abspalten von Linearfaktoren lösen. Nullstelle Ist f eine reelle Funktion, dann heißt eine Stelle a ∈ ℝ Nullstelle von f, wenn f(a) = 0ist. Anzahl von Nullstellen Eine Polynomfunktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen. Mehrfache Nullstelle Ist x 0 eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion f, dann schmiegt sich der Graph von f an dieser Stelle an die x-Achse (die waagrechte Achse) an. Beispiel: f ist eine Polynomfunktion 3. Grades x f(x) x0 f x f(x) x0 f x 0 ist eine dreifache Nullstelle x 0ist eine Doppelnullstelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 1 Weg zur Matura Gleichungen höheren Grades > Teil-1-Aufgaben Teil-1-Aufgaben Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 4.4 D en Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen […] wissen Wie viele verschiedene reelle Lösungen kann eine algebraische Gleichung dritten Grades haben? Veranschauliche ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen. Gegeben ist eine algebraische Gleichung vierten Grades mit a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0 (a, b, c, d, e ∈ ℝ, a ≠ 0). Wie viele reelle Lösungen kann eine Gleichung dieser Art besitzen? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A fünf B mindestens eine C drei D höchstens vier E unendlich viele Gegeben sind fünf algebraische Gleichungen. Welche Gleichungen besitzen Doppellösungen? Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an. A (x + 4) 2 (x 2 + 100) = 0 B x 2 − 8 x = − 16 C (x − 10) (x 2 + 2 x + 2) = 0 D x 3 + 2 x2 + 5 x = 0 E (2 x − 10) (2 x + 10) (x 2 − 144) x = 0 Eine algebraische Gleichung hat die einfachen Lösungen a und b und die Doppellösung c (a, b, c ∈ ℝ). Gib eine normierte Gleichung sowie den Grad der Gleichung an, die nur diese Lösungen besitzt. normierte Gleichung: Grad der Gleichung: FA-R 4.4 M1 43 FA-R 4.4 M1 44 FA-R 4.4 M1 45 FA-R 4.4 M1 46Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 Weg zur Matura Gleichungen höheren Grades > Teil-1-Aufgaben Eine Polynomfunktion 3. Grades hat eine dreifache Nullstelle bei x = − 4. Skizziere einen möglichen Funktionsgraphen. Gegeben sind die Graphen der Polynomfunktionen f1, f 2, f 3, f 4und f5. Kreuze die beiden Funktionsgraphen mit mehrfachen Nullstellen an. A B C D E x f1(x) f1 x f2(x) f2 x f3(x) f3 x f4(x) f4 x f5(x) f5 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades. Der Graph von f schneidet die x-Achse an den Stellen x 1und x2. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A x 1 ist ein einfache Nullstelle. B x 2 ist eine dreifache Nullstelle. C x 1ist eine Doppelnullstelle. D x 2 ist ein einfache Nullstelle. E x 1 ist eine dreifache Nullstelle. Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = (x 2 − 1) · (x 2 − 9). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Funktion f hat genau zwei Nullstellen. B Die Funktion f hat in der Menge der reellen Zahlen vier unterschiedliche Nullstellen. C Die Funktion f hat keine Nullstellen. D Bei der Funktion f handelt es sich um eine Polynomfunktion 4. Grades. E Die Funktion f hat im Koordinatenursprung eine Nullstelle. FA-R 4.4 M1 47 FA-R 4.4 M1 48 FA-R 4.4 M1 49 x f(x) x1 x2 f FA-R 4.4 M1 50 x f(x) 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
FA-R 4.3 FA-R 4.3 AG-R 1.2 FA-R 4.1 FA-R 4.3 FA-R 4.3 FA-R 4.3 FA-R 4.3 20 1 Weg zur Matura Gleichungen höheren Grades > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Segelboot Die Seitenansicht des Rumpfes einer Jacht modelliert ein Schiffskonstrukteur mit folgender Funktion vierten Grades: f(x) = 1 _ 6 700 x 4 − 1 _ 80 x 2 − 5(1 Längeneinheit = 1 m) Das Deck (die horizontale Abdeckung des Schiffrumpfs) wird durch die x-Achse erfasst. Es wird nur das Intervall betrachtet, auf dem f(x) ≤ 0ist. a) 1) Berechne die Länge der Segeljacht. b) Die maximale Geschwindigkeit, die das Schiff erreichen kann, hängt von der Länge des Schiffs entlang der Wasserlinie ab. Die Wasserlinie wird durch die Gerade y = − 1modelliert. Eine Faustformel für die Berechnung der maximalen Geschwindigkeit v in km/h lautet v = 4, 5 · 9 _________________________________ Länge des Schiffs in m entlang der Wasserlinie 1) Zeige, dass die Länge der Wasserlinie rund 29 m ist. 2) Berechne die maximale Geschwindigkeit obiger Jacht. c) 1) Begründe, dass f symmetrisch zur y-Achse ist. Computerspiel Bei einem Computerspiel werden von einem Turm aus, der auf einer waagrechten Ebene steht, verschiedene Objekte auf Ziele in unterschiedlichen Höhen, die sich vor dem Turm befinden, geschossen. Die Flugbahn, auf der sich ein Objekt bewegt, kann durch die Funktion f mit f(x) = − 0,11 x4 + 0,1 x2 + 2 (x ≥ 0) modellhaft dargestellt werden. Dabei beschreibt f(x) die Höhe des Objekts in Längeneinheiten (LE) , wenn es x LE von der Abschussstelle entfernt ist. a) 1) Ein Ziel wird nicht getroffen und das Wurfobjekt trifft auf dem Boden auf. Berechne, in welcher Entfernung vom Abschusspunkt das Objekt auf dem Boden aufschlägt. 2) Berechne die Höhe des Objekts, wenn es 1,7 LE von der Abschussstelle entfernt ist. b) 1) Bestimme die Entfernung vom Abschusspunkt, in der sich das Objekt in einer Höhe von 1 LE über dem Boden befindet. 2) Ein Ziel befindet sich in einer Höhe von 0,5 LE und ist 1,5 LE vom Abschusspunkt entfernt. Das Wurfobjekt verfehlt das Ziel. Berechne, um wie viele Längeneinheiten die Abschusshöhe von 2 LE geändert werden muss, damit das Objekt das Ziel trifft. KM2 51 x f(x) f Wasserlinie M2 52 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 Gleichungen höheren Grades > Selbstkontrolle Selbstkontrolle Ich kann algebraische Gleichungen durch Herausheben, mithilfe der Horner’schen Regel bzw. der binomischen Formel a2 − b 2 = (a − b) (a + b) lösen. Löse die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. a) 15 x 4 − 2 x 3= 24 x2 b) x 3 + 1 _ 343 = 0 c) x 4 − 6 561 = 0 Ich weiß, was man unter biquadratischen Gleichung versteht und kann diese lösen. Kreuze die beiden biquadratischen Gleichungen an. A B C D E x 4 + x 2 − 1 = 0 x 4 + 3 x = 2 − x 5 − 4 x 4 + x = 0 x 6 + 4 x4 + 2 = 0 x 3 + 2 = − x 6 Löse die Gleichung x4 + 96 x2 − 400 = 0in der Menge ℝ. Ich kann algebraische Gleichungen durch Abspalten eines linearen Faktors lösen. Zeige, dass der Wert x1 = − 2eine Lösung der algebraischen Gleichung 8 x 3 − 6 x 2 − 39x + 70 = 0ist und bestimme die restlichen Lösungen durch Abspalten eines Linearfaktors in der Menge ℝ. Ich kann den Term einer algebraischen Gleichung in Linearfaktoren zerlegen. Zerlege den Term der algebraischen Gleichung x 4 − 3 x 3 − 6 x 2 + 8 x = 0in Linearfaktoren. Ich kann die Nullstellen einer Polynomfunktion bestimmen. Berechne die Nullstellen der Polynomfunktion f mit f(x)= 4 x3 − 27x + 27und gib deren Vielfachheit an. Welche der Nullstellen ist einfach, welche mehrfach? Gib eine Begründung an. a) x f(x) 2 4 6 –2 50 100 150 –50 0 x2 f x1 b) x f(x) 2 4 6 –2 50 100 150 –50 0 x2 x1 f 53 54 55 56 57 58 59 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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