98 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 6 Halbwertszeit und Verdoppelungszeit Unter der Halbwertszeit oder Verdoppelungszeit eines exponentiellen Prozesses N versteht man jene Zeit, bei der sich N (t) halbiert bzw. verdoppelt. Die Halbwertszeit wird oft mit τ bezeichnet. Berechnung der Halbwertszeit eines Abnahmeprozesses der Form N (t) = N 0 · e λ·t: Da sich die Menge zum Zeitpunkt τ halbiert hat, gilt: N (τ) = 0,5·N0 (Hälfte der Anfangsmenge). Durch Einsetzen in die Funktion N (t) = N 0 · e λ·t erhält man: 0, 5 · N0 = N 0 · e λ·τ | : N 0 ⇒ 0,5 = e λ·τ | logarithmieren ln(0, 5) = λ · τ · ln(e) | ln(e) = 1, : λ ⇒ τ = ln(0, 5) _ λ Die Halbwertszeit Für die Halbwertszeit τ eines Abnahmeprozesses der Form N (t) = N 0 · e λ·t gilt: τ = ln(0, 5) _ λ bzw. λ = ln(0, 5) _ τ Gegeben ist der Graph eines Abnahmeprozesses. Lies aus dem Graphen die Halbwertszeit ab. a) t N(t) N 2 4 6 8 10 20 40 60 80 0 b) t N(t) N 20 40 60 80 100 100 200 300 400 0 In dem Kernkraftwerk in Tschernobyl (Ukraine) ereignete sich am 26. April 1986 eine Reaktorkatastrophe. Dabei wurden große Mengen radioaktiver Stoffe, vor allem Cäsium 137 mit einer Halbwertszeit von ungefähr 30 Jahren, frei. a) Stelle ein Zerfallsgesetz in der Form N (t) = N 0 · e λ·t auf. b) In welchem Jahr wird die Menge des radioaktiven Stoffes auf unter ein Prozent seiner Anfangsmenge gesunken sein? Die C-14 Methode verwendet die Eigenschaft, dass radioaktive C-14 Atome bei abgestorbenen Organismen mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren zerfallen. Bei lebenden Organismen ist der C-14 Anteil nahezu konstant. Im Jahr 1991 fand ein deutsches Urlauberpaar im Gletschereis einen leblosen mumifizierten Körper, der später den Namen Ötzi bekam. Eine spätere Analyse ergab, dass der C-14 Anteil des Mannes nur noch zu ca. 53 Prozent vorhanden war. a) Zu welcher Zeit hat Ötzi gelebt? b) Die Genauigkeit der Altersbestimmung hängt natürlich auch von der Messgenauigkeit des C-14-Gehalts ab. Bestimme das Intervall für das Todesjahr von Ötzi, wenn man von einer Messungenauigkeit von maximal einem Prozent ausgeht. Merke FA-R 5.5 M1 384 t M2 385 FA-R 5.5 FA-R 5.2 386 Ó Arbeitsblatt Halbwertszeit fj585w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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