FA-R 5.1 FA-R 5.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 95 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Die Bevölkerung E eines Dorfes entwickelt sich annähernd exponentiell. Die Anzahl der Einwohner wird durch ein Wachstumsgesetz modelliert (t in Jahren). 1) Um wie viel Prozent nimmt die Einwohnerzahl jährlich zu? 2) Um wie viel Prozent nimmt die Einwohnerzahl in 12 Jahren zu? 3) Nach wie viel Jahren wird eine Einwohnerzahl von 25 000 überschritten? 4) Stelle den Wachstumsprozess auch in der Form E (t) = E 0 · e λ·t dar. a) E(t) = 1200 · 1,12t b) E(t) = 3700 · 1,09t c) E(t) = 17800 · 1,02t Die Anzahl gewisser parasitärer Bakterien wächst in einer Kultur bei 20°C und mäßiger Feuchtigkeit um 12 % pro Stunde. Am Beginn der Beobachtungen sind 60 Bakterien vorhanden. N (t) ist die Anzahl der Bakterien nach t Stunden. a) Stelle das Bakterienwachstum in der Form N (t) = N 0 · e λ·t und in der Form N(t) = N 0 · b t dar. b) Wie viele Bakterien sind nach einem Tag vorhanden? Um wie viel Prozent haben sich die Bakterien zu diesem Zeitpunkt vermehrt? c) Nach welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien? Von einem radioaktiven Stoff sind zu Beginn 750 000 Atome vorhanden. Die Anzahl der Atome N(t) nimmt um 13 % pro Stunde ab. a) Stelle ein Abnahmegesetz in der Form N (t) = N 0 · e λ·t und in der Form N (t) = N 0 · b t auf, mit dem man die Anzahl der Atome zum Zeitpunkt t (in Stunden) berechnen kann. b) Wie viele Atome sind nach zehn Stunden vorhanden? Um wie viel Prozent haben sich die Atome zu diesem Zeitpunkt verringert? c) Nach welcher Zeit ist noch die Hälfte der Atome vorhanden? d) Nach welcher Zeit sind noch zehn Prozent der Atome vorhanden? Eine Maschine mit dem Neuwert von 47500 Euro verliert jedes Jahr 15 % ihres Werts. a) Stelle ein Abnahmegesetz W für den Wert der Maschine nach t Jahren in der Form W(t) = W 0 · e λ·t und in der Form W(t) = W 0 · b t auf. b) Berechne den Wert nach 3 und nach 5 Jahren. c) Nach wie viel Jahren ist die Maschine nur mehr die Hälfte wert? Die Anfangstemperatur eines Körpers T0 kühlt im Laufe der Zeit auf seine Umgebungstemperatur TU ab. Dieser Zusammenhang kann durch folgenden Abnahmeprozess modelliert werden: T(t) = T U + (T 0 − T U) · e λ·t (t in Minuten) T(t) ist die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t. Die Abkühlungskonstante λ ist abhängig vom Material. Die Anfangstemperatur eines Kakaos sei 80°. Die Raumtemperatur sei 21°, die Abkühlungskonstante ist − 0, 13. a) Berechne die Temperatur des Kakaos nach 2 bzw. 4 Minuten. b) Eine angenehme Trinktemperatur liegt bei ca. 55°. Wann hat der Kakao diese Temperatur erreicht? Die Temperaturabnahme einer Tasse Kakao wird in Aufgabe 371 durch eine Exponentialfunktion modelliert. Erkläre anhand folgender Fragestellung, welches Problem bei einem exponentiellen Modell auftreten kann: Wann nimmt der Kakao die Umgebungstemperatur an? 367 368 M2 369 370 M2 371 » 372 Ó Vertiefung Reflexion Exponentialfunktion 2di3ta Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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