94 6.2 Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Lernziele: º Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren können º Halbwertszeit und Verdoppelungszeit definieren und berechnen können º Lineare und exponentielle Modelle unterscheiden und anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 5.5 D ie Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können FA-R 5.6 D ie Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können Viele Prozesse wie z.B. Bakterienwachstum, Luftdruckänderung, Kapitalentwicklung, radioaktiver Zerfall verändern sich exponentiell. Man spricht dabei von exponentiellen Wachstums- oder Abnahmeprozessen. Diese kann man durch Exponentialfunktionen modellieren. Sei N(0) = N 0 der positive Anfangswert und N (t) der Wert zum Zeitpunkt t. Dann gilt: N(t) = N 0 · b t bzw. N(t) = N 0 · e λ·t. Je nachdem, ob ein Wachstums- oder Abnahmeprozess stattfindet, wird λ Wachstums- oder Zerfallskonstante (auch Abnahmekonstante) genannt. Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion wurde bereits erarbeitet und kann daher auf Wachstums- und Abnahmeprozesse übertragen werden. N(t) = N 0 · b t N(t) = N 0 · e λ·t Exponentielles Wachstum b > 1 λ > 0 Exponentielle Abnahme 0 < b < 1 λ < 0 Die Bevölkerungszahl einer Stadt entwickelt sich annähernd exponentiell. Die Anzahl der Einwohner wird durch folgendes Wachstumsgesetz modelliert: E(t) = 7800 · 1,05t (t in Jahren). a) Um wieviel Prozent nimmt die Einwohnerzahl jährlich zu? b) Um wieviel Prozent nimmt die Einwohnerzahl in 10 Jahren zu? c) Nach wie vielen Jahren wird eine Einwohnerzahl von 22 000 überschritten? a) Aufgrund der Wachstumskonstante b = 1,05kann man ablesen, dass die Einwohnerzahl jährlich um 5 Prozent zunimmt. b) Die Einwohnerzahl ändert sich nach 10 Jahren um den Faktor 1, 05 10 = 1,62889. Daher ist die Einwohnerzahl um ca. 62,9 % gestiegen. c) Um die Anzahl der Jahre zu berechnen, muss eine Exponentialgleichung gelöst werden. E(t) = 22000 ⇒ 22 000 = 7 800 · 1, 05t | : 7 800 22000 _ 7800 = 1, 05 t |logarithmieren log(22 000 _ 7 800 ) = log(1, 05 t) ⇒ log(22 000 _ 7 800 ) = t · log(1, 05) ⇒ t = log( 22 000 _ 7 800 ) _ log(1, 05) ≈ 21,2526 Jahre Laut Modell leben nach ca. 22 Jahren mehr als 22 000 Einwohner in dieser Stadt. Kompetenzen Ó Darstellung Wachstums- und Abnahmeprozesse q3n2s4 Muster 366 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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