Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

92 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion 6 Gegeben ist ein Ausschnitt einer Wertetabelle einer Funktion. Überprüfe, ob es sich um eine Exponentialfunktion handeln könnte. a) x ​− 4​ ​− 3​ ​− 1​ ​f​(x)​ 0,96 1,16 1,69 b) x 5 6 9 ​f​(x)​ 1,85 0,83 0,5 c) x ​− 3​ ​− 1​ 4 ​f​(x)​ 160 40 1,25 Gegeben ist ein Ausschnitt einer Wertetabelle einer Exponentialfunktion. Ergänze die fehlenden Funktionswerte. x ​− 3​ ​− 2​ ​− 1​ 0 3 ​f​(x)​ 8 4 2 x ​− 4​ ​− 2​ 1 4 ​f​(x)​ 72 162 546,75 Gegeben ist eine Exponentialfunktion f. Auf das Wievielfache verändert sich der Funktionswert, wenn man das Argument um 1) 1 2) 2 3) 5 4) 8 vergrößert? Gib die Veränderung auch in Prozent an. a) ​f​(x) ​= 0,​57​x​ c) ​f​(x) ​= 0,​89​x​ e) ​f​(x) ​= 2·​3​x​ g) ​f​(x) ​= 3 · ​( ​1 _ 5​) ​ x ​ b) ​f​(x) ​= 1,​5​x​ d) ​f​(x) ​= 1,​75​x​ f) ​f​(x) ​= 2 · 0,​83​x​ h) ​f​(x) ​= 2 · ​(​6 _ 5​) ​ x ​ Die natürliche Exponentialfunktion Im Kapitel 2 wurden bereits die Eulersche Zahl, Exponentialgleichungen und Logarithmen behandelt. Zerlege so weit wie möglich in eine Summe bzw. Differenz von Logarithmen. a) ​ln​(3 · ​e ​4​)​ b) ​ln​(2 · ​e ​−4 · λ​)​ c) ​ln​(​3 · ​e ​ 6 · λ​ _ 3 · a ​)​ d) ​ln​(​ 5 · ​9 _ e ​ _ 2 ​)​ e) ​ln​(​ 7 · ​ 3 9 _​e ​ −2 · λ ​ _ 4 ​)​ Drücke die Zahl 100 durch eine Potenz mit der Basis a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 aus. Löse die Exponentialgleichung. a) ​3 ​x + 2 ​= 5​ b) ​2 ​3 x​ ​= ​2 ​x − 4​ c) ​3 · ​7 ​x ​= 2·​2​3 x​​ d) ​3 ​3 x + 2 ​= 2·​6​x − 3​ e) ​0,​3 ​−4 x + 1 ​= ​2 ​x​ Exponentialfunktionen können eine beliebige positive Basis besitzen. In den Naturwissenschaften kommt der Eulerschen Zahl eine besondere Bedeutung zu. Neben der Darstellung ​f​(x) ​= a·​b​x ​wird daher oft die Darstellung f​​(x) ​= a·​e​λ · x ​mit ​λ ∈ ℝ ​verwendet. Setzt man die beiden Darstellungen gleich, so erhält man: ​a · ​b​ x ​= a·​e​λ · x ​= a · ​(​e​ λ​) ​x​ ​⇒​ ​b = ​e ​λ​ Um die Konstante ​λ ​zu berechnen, löst man eine Exponentialgleichung. Da die Basis die Eulersche Zahl ist, bietet sich hier der natürliche Logarithmus an: ​b = ​e ​λ​ ​|​logarithmieren ​ln​(b) ​= ln​(​e ​λ​)​ ​| ​Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen ​ln​(b) ​= λ · ln​(e)​ ​| ​Anwendung: l​n​(e) ​= 1​ ​λ = ln​(b)​ FA-R 5.1 M1 354 FA-R 5.2 M1 355 356 357 358 359 Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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