88 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion 6 b) Allgemein gilt T(x) = 12 · 1,15x. T steht für die Anzahl der Tiere und x für die Anzahl der Jahre seit Beobachtungsbeginn. Für dieses Modell kann x ∈ ℝ + zugelassen werden. Dabei wird angenommen, dass sich die Population auch während des Jahres nach dieser Funktionsgleichung ändert. (Für ein halbes Jahr wählt man z.B. x = 0,5.) c) Würden für x nur natürliche Zahlen zugelassen werden, dann würde der Graph nur aus den einzelnen Punkten bestehen. In der Abbildung sieht man den Graphen für positive reelle x-Werte. Bei obiger Musteraufgabe erkennt man, dass die unabhängige Variable im Exponenten der Funktion vorkommt. Solche Funktionen nennt man Exponentialfunktionen. Exponentialfunktion Eine Funktion f mit f(x) = a·bx (a ∈ ℝ\{0} und b ∈ ℝ +) nennt man Exponentialfunktion mit der Basis b. Da Exponentialfunktionen für ein negatives b in ℝ nicht immer definiert sind (z.B. (− 2) 0,5 = 9 _ − 2), ist es sinnvoll, nur positive reelle Zahlen für b zuzulassen. Kreuze alle Exponentialfunktionen an. A a(x) = x 9 C c(x) = x 2 + 3x − 3 E e(x) = − 3 · 3 x G g(x) = (− 2) x B b(x) = − 3 · x 3 D d(x) = 9 x F f(x) = 2·x−3 H h(x) = 0, 3555x In einer Stadt leben derzeit 11 400 Einwohner. Durch Beobachtungen der letzten Jahre nimmt man an, dass die Stadt jährlich um ca. 4 % wächst. Es sei E (t) die Anzahl der Einwohner nach t Jahren. a) Stelle eine Funktionsgleichung für E (t) auf und gib die Anzahl der Einwohner für t = 1, t = 2, t = 3und t = 4an. b) Skizziere den Graphen der Funktion E für 0 ≤ t ≤ 5. Im Meerwasser nimmt die Lichtintensität pro Meter Wassertiefe um ca. 20 % ab. Man nehme an, dass die Lichtintensität am Beginn ca. 800 Lux (Einheit der Beleuchtungsstärke) beträgt. a) Stelle eine Funktionsgleichung l(m) (Lichtintensität in Abhängigkeit von der Meerestiefe in m) auf und berechne die Intensität für m = 1, 2, 3, 4. b) Skizziere den Graphen von I für 0 ≤ m ≤ 7. Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit f(x) = b x, b ∈ ℝ +. a) Zeichne die Graphen der Exponentialfunktionen mit Hilfe von Technologie für b = 2, 3 und b = 1 _ 2, 1 _ 3 in ein Koordinatensystem. Welcher Zusammenhang fällt dir auf? b) Alle Funktionen aus a) besitzen einen gemeinsamen Punkt. Gib die Koordinaten des gemeinsamen Punkts an. c) Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktionen aus a). d) Kann die Funktion f negative Funktionswerte annehmen? Begründe deine Entscheidung. x T(x) 123456789101112 10 20 30 40 50 60 70 80 0 T Merke t 341 342 M2 343 344 Ó Technologie Darstellung Exponentialfunktionen 1 5px4u8 FA-R 5.1 FA-R 5.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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