FA-R 3.1 FA-R 3.1 FA-R 3.1 FA-R 4.4 AG-R 1.1 AG-R 2.1 FA-R 3.1 FA-R 3.3 83 Weg zur Matura Potenzfunktionen und Polynomfunktionen > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Kostenfunktionen Eine Kostenfunktion K (x) beschreibt die auftretenden Kosten K in Abhängigkeit von der produzierten Stückanzahl x. Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,1x3 − 5 x 2 + 85x + 120. a) Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion besitzt folgende Eigenschaften: Zuerst steigen die Kosten rasch an, wird die Produktion weiter ausgedehnt, wachsen die Kosten langsamer (z.B. aufgrund von Mengenrabatt). Wird die Stückanzahl weiter erhöht, dann steigen die Gesamtkosten wieder rascher an (z.B. aufgrund von zusätzlichen Maschinen). Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion wird oft als eine Polynomfunktion dritten Grades f(x) = ax3 + b x2 + cx + dmit den Eigenschaften a , c > 0, d ≥ 0 u n d b 2 < 3ac beschrieben. 1) Begründe, dass K (x)eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist. b) 1) Interpretiere den Ausdruck K(0) im gegebenen Kontext. c) Die Stückkostenfunktion beschreibt die Kosten pro Stück. 1) Gib die Stückkostenfunktion an. d) 1) Die Polynomfunktion K eignet sich unter anderem als ertragsgesetzliche Kostenfunktion, da sie keine Extremstellen besitzt. Gegeben sind Aussagen über Polynomfunktionen dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Polynomfunktionen dritten Grades besitzen keine Extremstellen. B Polynomfunktionen dritten Grades besitzen immer genau zwei Extremstellen. C Besitzt eine Polynomfunktion dritten Grades nur eine Nullstelle, dann besitzt sie keine Extremwerte. D Polynomfunktionen dritten Grades besitzen höchstens 2 Extremstellen. E Polynomfunktion dritten Grades besitzen mindestens eine und höchstens drei Nullstellen. Keplersche Gesetze Johannes Kepler hat Anfang des 17. Jahrhunderts seine drei Keplerschen Gesetze veröffentlicht. Mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes wird die Größe des Sonnensystems bestimmbar. Die Planeten bewegen sich ellipsenförmig um die Sonne. Das dritte Keplersche Gesetz lautet: Für die Umlaufzeiten T1 bzw. T2 zweier Planeten (Dauer für eine vollständige Umrundung der Sonne in Tagen) und ihre beiden mittleren Abstände r1 bzw. r2 zur Sonne (in km) gilt: ( T 1 _ T 2 ) 2 = ( r 1 _ r 2 ) 3 a) 1) Die Umlaufzeit der Erde ist mit 365,26 Tagen gegeben. Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne ist ca. 1,5 · 108 km. Der Mars benötigt für eine Umrundung der Sonne ca. 687 Tage. Berechne die mittlere Entfernung des Planeten Mars von der Sonne. b) 1) Forme die Formel nach r2 um. 2) Die Funktion r2(T 2) ist eine Funktion der Form f(x) = ax r + b. Gib die Werte der Parameter a, r und b an. c) 1) Je größer die mittlere Entfernung eines Planeten zur Sonne ist, umso größer ist seine Umlaufzeit. Begründe diesen Satz mit Hilfe des Keplerschen Gesetzes. M2 327 K M2 328 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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