FA-R 4.2 FA-R 4.3 FA-R 4.3 80 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen > Polynomfunktionen 5 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 + 12x + 27. a) Bestimme die Nullstellen der Funktion und gib die Funktion in der Linearfaktorform f(x) = (x − x 1) · (x − x 2) an. b) Berechne den Funktionswert an der Stelle − 2. c) An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 315 an? d) Gib die Koordinaten des Extrempunkts an. Der Druck in einem Behälter ändert sich während eines 10 Minuten dauernden Experiments. Die Funktion p mit der Gleichung p(t) = 5 _ 108 t 3 − 5 _ 12 t 2 + 7beschreibt die Höhe des Drucks in Abhängigkeit von der Zeit t (p in bar, t in min). a) Skizziere den Graphen der Funktion. b) Für welches t gilt p (t) = 7? Interpretiere das Ergebnis. c) Gib die lokale Minimumstelle in den ersten 10 Minuten an und interpretiere dein Ergebnis. Zusammenfassung Potenzfunktionen Eine Funktion f der Form f(x) = a·xr, a, r ∈ ℝ, a ≠ 0nennt man Potenzfunktion. Ist der Exponent gerade, dann ist die Funktion eine gerade Funktion. Ist der Exponent ungerade, dann ist die Funktion eine ungerade Funktion. Bei Funktionen der Form f(x) = a·xr + b, r ∈ ℤ, a, b ∈ ℝ gilt: Ist |a| > 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion xr entlang der y-Achse gestreckt. Ist |a| < 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion xr entlang der y-Achse gestaucht. b bewirkt eine Verschiebung des Graphen von a · xr entlang der y-Achse. Wurzelfunktionen Funktionen der Form f(x) = n 9 _ xmit D = ℝ 0 + und n ∈ ℕ\{0; 1} nennt man Wurzelfunktionen. Polynomfunktionen Eine Funktion der Form f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + ...+a 1 x + a0 mit a 0, a 1, a 2, a 3, ..., an ∈ ℝ, a n ≠ 0und n ∈ ℕ\{0} nennt man Polynomfunktion n-ten Grades. Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt º höchstens n Nullstellen. º höchstens n − 1 Extremstellen. 316 Ó Arbeitsblatt Polynomfunktionen untersuchen 5748z4 M2 317 x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 f (x) = x2 h (x) = x3 i (x) = x–1 g(x) = 0,25 x2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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