79 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen > Polynomfunktionen Polynomfunktionen dritten Grades sind meist ähnlich einer S-Kurve. Wie man bei den Abbildungen sieht, sind auch Entartungen möglich. Aufgrund der Zeichnungen kann man noch keinen allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Grad des Polynoms und der Anzahl der Nullstellen bzw. Extremstellen erkennen. Allgemein gilt aber folgender Satz, der in Lösungswege 7 bewiesen wird. Nullstellen und Extremstellen von Polynomfunktionen Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt – höchstens n Nullstellen. – höchstens n − 1Extremstellen. Gib eine Polynomfunktion mit folgendem Grad an. a) 3 b) 100 c) 23 d) 2 e) 9 f) 13 333 g) 1 h) 441 1) Skizziere die Polynomfunktion mithilfe von Technologie. 2) Gib den Grad der Polynomfunktion an. 3) Wie viele Nullstellen besitzt die Funktion? 4) Wie viele Extremstellen besitzt die Funktion? a) f(x) = x 3 + 3x c) f(x) = x 4 − 3 x 2 e) f(x) = x 5 − 2 x 2 b) f(x) = x 3 − 3 x 2 + 2x d) f(x) = x 4 + 3 x3 f) f(x) = x 5 − 5 x 4 + 5 x3 + 5 x2 − 6x Ergänze den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Eine Polynomfunktion (1) Grades hat (2) 3 Extremstellen. (1) (2) dritten genau vierten mindestens fünften höchstens Zeichne die Graphen der angegebenen Funktionen a – f mithilfe von Technologie. Überprüfe ihre Symmetrieeigenschaften und gib eine Vermutung an, wann Polynomfunktionen gerade bzw. ungerade sind. a(x) = 2x4 − 3 x 2 + 3 b(x) = − x 5 − 3 x 3 c (x) = − 3 x 6 − 3 x 4 + x 2 d (x) = 2x4 − x 3 + 3 e(x) = 2x3 − 3x f(x) = 2x3 − 1 Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 − 6x + 8. a) Bestimme den Funktionswert an der Stelle 3. b) An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 24 an? a) x = 3 ⇒ f(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = − 1 b) f(x) = 24 ⇒ 24 = x2 − 6x + 8 ⇒ 0 = x 2 − 6x − 16 Durch Einsetzen in die kleine Lösungsformel erhält man: x 1 = 8und x2 = − 2. Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 − 4x − 21. a) Bestimme die Nullstellen der Funktion. b) Berechne den Funktionswert an der Stelle − 5. c) An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert − 9 an? d) Gib die Koordinaten des Extrempunkts an. Merke 310 311 FA-R 4.4 M1 312 313 Ó Technologie Darstellung Polynomfunktionen und Symmetrie m4d7z5 Muster 314 315 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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