REFLEXION Der indirekte Beweis Wenn ein Sesse® sicher nicht „nicht b®au“ ist, dann ist er sicher „b®au“ In der Mathematik ge®ten fo®gende Gesetze der Logik. 1) „ Entweder ist eine Aussage fa®sch, oder sie ist richtig. Eine dritte Mög®ichkeit gibt es nicht.“ 2) „Wenn eine Aussage richtig ist, dann ist ihre Verneinuvng fa®sch und wenn die Verneinung einer Aussage fa®sch ist, dann ist die Aussage se®bst richtig.“ Die Zusammenhänge werden nun an einem Beispie® aufgezeigt. Die Aussage „Dieser Sesse® ist b®au.“ kann nur richtig oder fa®sch sein (Gesetz 1)). Die Verneinung dieser Aussage „Dieser Sesse® ist nicht b®au.“ kann ebenso nur richtig oder fa®sch sein. (Gesetz 1)) Aus der Richtigkeit der Aussage „Dieser Sesse® ist b®au.“ fo®gt, dass die Verneinung „Dieser Sesse® ist nicht b®au.“ fa®sch ist. (Gesetz 2)) Und wenn die Verneinung „Dieser Sesse® ist nicht b®au.“ fa®sch ist, dann fo®gt daraus, dass die Aussage „Dieser Sesse® ist b®au.“ sicher richtig ist. (Gesetz 2)) Euk®ids indirekter Beweis über die Unend®ichkeit der Primzah®en Voraussetzung Der Beweis setzt fo®gende Einsicht voraus, „Jede Zah® ist entweder eine Primzah®, oder sie ist durch eine Primzah® (die k®einer ist a®s sie se®bst) tei®bar.“ Idee des Indirekten Beweises Wenn es nun ge®ingt zu zeigen, dass die Aussage „Es gibt end®ich vie®e Primzah®en.“ fa®sch ist, dann ist damit indirekt bewiesen, dass die Aussage „Es gibt unend®ich vie®e Primzah®en.“ richtig ist (Gesetz (2)). Diese Beweisart nennt man Indirekter Beweis. Beweis Zunächst nimmt man an, dass es nur end®ich vie®e Primzah®en gibt. Dann könnte man diese in einer Liste beginnend mit der k®einsten Primzah® p1 bis zur größten Primzah® pn aufschreiben. Die vo®®ständige Liste a®®er Primzah®en würde dann so aussehen: p1 , p2 , p3 , p4 , … pn . Und jetzt kommt die genia®e Idee von Euk®id ins Spie®. Er berechnete aus a®®en Primzah®en eine neue Zah® Z, indem er a®®e Primzah®en miteinander mu®tip®izierte und zu diesem Produkt 1 addierte. Z = p1 · p2 · p3 · p4 · p5 · … · pn + 1 Und nun wendet man die Voraussetzung des Beweises auf diese Zah® Z an: Z ist a®so entweder eine Primzah®, oder sie ist durch eine k®einere Primzah® tei®bar. Wenn Z eine Primzah® ist, dann ist sie sicher größer a®s die größte Primzah® der Primzah®en®iste pn. Die Liste ist in diesem Fa®® a®so nicht vo®®ständig. Wenn Z keine Primzah® ist, dann ist sie durch eine Primzah® p tei®bar. Diese Primzah® kann aber keine aus der Primzah®®iste sein, wei® bei Division der Rest 1 stehen b®eiben würde. A®so ist p eine neue Primzah®. Die Primzah®®iste ist a®so auch in diesem Fa®® nicht vo®®ständig. Daraus fo®gt, dass die Annahme einer vo®®ständigen end®ichen Primzah®®iste sicher fa®sch ist. Damit ist indirekt bewiesen, dass es unend®ich vie®e Primzah®en gibt! q. e. d. Es ist falsch, dass dieser Sessel nicht blau ist. 69 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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