63 Untersuchen reeller Funktionen > Änderungsmaße Zusammenfassung Reelle Funktion Eine Funktion f : D → ℝ mit D ⊆ ℝ n nennt man eine reelle Funktion in n Variablen. (n ∈ ℕ\{0}) Monotonie Sei f : D → ℝ eine reelle Funktion und A eine Teilmenge von D. Die Funktion f heißt streng monoton steigend in A, streng monoton fallend in A, konstant in A, x 0 f(x1) x1 < x2 x1 x2 A f(x2) f(x1) < f(x2) f f(x) x 0 f(x) f(x2) x1 < x2 x1 x2 A f(x1) f(x1) > f(x2) f x 0 x1 < x2 x1 f x2 A f(x1) = f(x2) f(x) wenn für alle x1, x 2 ∈ A gilt: x 1 < x2 ⇒ f(x 1) < f(x 2) wenn für alle x1, x 2 ∈ A gilt: x 1 < x2 ⇒ f(x 1) > f(x 2) wenn für alle x1, x 2 ∈ A gilt: x 1 < x2 ⇒ f(x 1) = f(x 2) Werden die Funktionswerte von f in A für größer werdende Argumente größer/kleiner oder bleiben gleich, dann ist f monoton steigend/fallend und nicht streng monoton. Extremstellen º Für eine globale Maximumstelle p einer Funktion f gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x ∈ D º Für eine globale Minimumstelle p einer Funktion f gilt: f(p) ≤ f(x) für alle x ∈ D º Für eine lokale Maximumstelle p einer Funktion f gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x aus einer Umgebung von p º Für ein lokale Minimumstelle p einer Funktion f gilt: f(p) ≤ f(x) für alle x aus einer Umgebung von p Symmetrie und Periodizität Eine reelle Funktion f mit der Eigenschaft º f(x) = f(− x) für alle x aus der Definitionsmenge, nennt man eine gerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. º f(x) = − f(− x) nennt man ungerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. º f(x) = f(x + p) für alle x aus der Definitionsmenge, p ∈ ℝ +, nennt man eine periodische Funktion mit Periode p. Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt º f(b) − f(a) die absolute Änderung von f in [a; b]. º f(b) − f(a) _ b − a mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [a; b]. º f(b) − f(a) _ f(a) relative Änderung von f in [a; b]. º f(b) _ f(a) Änderungsfaktor von f in [a; b]. globale Maximumstelle ®oka®e Maximumstelle ®oka®e Minimumstelle globale Minimumstelle x –2–1 123456 –2 –6–5–4–3 –3 1 2 3 4 0 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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