Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

58 Untersuchen reeller Funktionen > Verallgemeinern des Funktionsbegriffs 4 Berechne die Funktionswerte f​​(2, − 4) ​und f​​(− 5, 6) ​der Funktion f mit f​​(x, y) ​= ​2 x − 4 _ y ​und gib eine sinnvolle Definitionsmenge an. Um die Funktionswerte zu berechnen, werden die Werte für x und y eingesetzt: ​f​(2, − 4) ​= ​2 · 2 − 4 _ − 4 ​= 0​ ​f​(− 5, 6) ​= ​ 2 · ​(− 5) ​− 4 _ 6 ​= − ​ 7 _ 3​ Da durch null nicht dividiert werden darf, muss man diese Zahl bei der Definitionsmenge von y ausnehmen: Definitionsmenge: ​ℝ × ℝ\​{0}​ Berechne die Funktionswerte f​​(1, − 3) ​und f​​(− 2, − 7) ​und gib eine sinnvolle Definitionsmenge der Funktion f an. a) ​f​(x, y) ​= ​ 2 y − 3 _ x − 2 ​ c) ​f​(x, y) ​= ​x ​ 2 ​+ ​y ​2​ e) ​f​(x, y) ​= y · ​9 _2 x + 4 ​ b) ​f​(x, y) ​= ​ 3 y + 1 _ 2 x + 3​ d) ​f​(x, y) ​= ​x ​ 2 ​+ ​y ​2​ f) ​f​(x, y) ​= x · ​9 _3y + 27​ Zeichne die Graphen der Funktionen aus Aufgabe 245 mit einem elektronischen Hilfsmittel. Bei der Schreibweise ​V​(r, h) ​sind sowohl r als auch h frei wählbare Variablen (innerhalb des Definitionsbereichs). Man kann das Volumen auch für einen konstanten Radius betrachten. Damit der Radius eindeutig als konstanter Faktor erkennbar ist, schreibt man: ​V​(h) ​= ​r ​2 ​π h​ (h ist die unabhängige Variable, r ist konstant). Man kann erkennen, dass V nun eine Funktion der Form V​ ​(h) ​= c · h​(mit ​c = ​r​2 ​π​, c ein konstanter Faktor) und daher eine lineare Funktion ist. Wäre die Höhe konstant, dann schreibt man: ​V​(r) ​= ​r ​2 ​π h​ (r ist die unabhängige Variable, h ist konstant) und erkennt, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form V​ ​(r) ​= c·​r​2​ (​c = π h​, c ein konstanter Faktor) handelt. Gegeben ist die Funktion ​T​(a, b, c) ​= ​​a ​ 2 ​· b _ c .​ a) Wie verändert sich T, wenn man a verdoppelt? b) Wie verändert sich T, wenn man b verdoppelt und c halbiert? c) Welche Art von Funktion ist ​T​(a) ​und wie kann man den Graphen beschreiben? d) Welche Art von Funktion ist ​T​(c) ​und wie kann man den Graphen beschreiben? a) Man ersetzt a durch 2 a und erhält: ​T​(2 a, b, c) ​= ​ ​(2 a) ​2 ​· b _ c ​= ​ 4 ​a ​2 ​b _ c ​⇒ T​wird vervierfacht. b) Man ersetzt b durch 2 b und c durch 0,5 c und erhält: T​ ​(a; 2 b; 0,5 c) ​= ​​a ​ 2 ​· 2 b _ 0,5 c ​= ​ ​a ​2 ​· 4 b _ c ​ ⇒ T​wird vervierfacht. c) Betrachtet man die Funktion ​T​(a)​, dann sind b und c Konstanten und man erhält: ​T​(a) ​= ​​a ​ 2 ​· b _ c ​ Dies ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel. d) Betrachtet man die Funktion ​T​(c)​, dann sind a und b Konstanten und man erhält: ​T​(c) ​= ​​a ​ 2 ​· b _ c ​ Dies ist eine gebrochen rationale Funktion. Der Graph ist eine Hyperbel. Muster 244 245 246 h V(h) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V (h) = r2 · π · h für r = 1 r V(r) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V (r) = r2 · π · h für h = 1 Muster 247 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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