58 Untersuchen reeller Funktionen > Verallgemeinern des Funktionsbegriffs 4 Berechne die Funktionswerte f(2, − 4) und f(− 5, 6) der Funktion f mit f(x, y) = 2x − 4 _ y und gib eine sinnvolle Definitionsmenge an. Um die Funktionswerte zu berechnen werden die Werte für x und y eingesetzt: f(2, − 4) = 2 · 2 − 4 _ − 4 = 0 f(− 5, 6) = 2 · (− 5) − 4 _ 6 = − 7 _ 3 Da durch null nicht dividiert werden darf, muss man diese Zahl bei der Definitionsmenge von y ausnehmen: Definitionsmenge: ℝ × ℝ\{0} Berechne die Funktionswerte f(1, − 3) und f(− 2, − 7) und gib eine sinnvolle Definitionsmenge der Funktion f an. a) f(x, y) = 2y − 3 _ x − 2 c) f(x, y) = x 2 + y 2 e) f(x, y) = y · 9 _2x + 4 b) f(x, y) = 3y + 1 _ 2x + 3 d) f(x, y) = x 2 + y 2 f) f(x, y) = x · 9 _3y + 27 Zeichne den Graphen der Funktion aus Aufgabe 245 mit einem elektronischen Tool. Bei der Schreibweise V(r, h) sind sowohl r als auch h frei wählbare Variablen (innerhalb des Definitionsbereichs). Man kann das Volumen auch für einen konstanten Radius betrachten. Damit der Radius eindeutig als konstanter Faktor erkennbar ist, schreibt man: V(h) = r 2 πh (h ist die unabhängige Variable, r ist konstant). Man kann erkennen, dass V nun eine Funktion der Form V (h) = c · h(mit c = r2 π, c ein konstanter Faktor) und daher eine lineare Funktion ist. Wäre die Höhe konstant, dann schreibt man: V(r) = r 2 πh (r ist die unabhängige Variable, h ist konstant) und erkennt, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form V (r) = c·r2 (c = πh, c ein konstanter Faktor) handelt. Gegeben ist die Funktion T(a, b, c) = a 2 · b _ c . a) Wie verändert sich T, wenn man a verdoppelt? b) Wie verändert sich T, wenn man b verdoppelt und c halbiert? c) Welche Art von Funktion ist T(a) und wie kann man den Graphen beschreiben? d) Welche Art von Funktion ist T(c) und wie kann man den Graphen beschreiben? a) Man ersetzt a durch 2a und erhält: T(2a, b, c) = (2a) 2 · b _ c = 4 a 2 b _ c ⇒ Twird vervierfacht. b) Man ersetzt b durch 2b und c durch 0,5c und erhält: T(a; 2b; 0, 5c) = a 2 · 2b _ 0, 5c = a 2 · 4b _ c ⇒ Twird vervierfacht. c) Betrachtet man die Funktion T(a), dann sind b und c Konstanten und man erhält: T(a) = a 2 · b _ c Dies ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel. d) Betrachtet man die Funktion T(c), dann sind a und b Konstanten und man erhält: T(c) = a 2 · b _ c Dies ist eine gebrochen rationale Funktion. Der Graph ist eine Hyperbel. Muster 244 245 246 h V(h) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V (h) = r2 · π · h für r = 1 r V(r) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V (r) = r2 · π · h für h = 1 Muster 247 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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