57 4.5 Verallgemeinern des Funktionsbegriffs Lernziele: º Funktionen mit mehreren Variablen definieren können und Funktionswerte berechnen können º Funktionen mit Parametern darstellen können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 1.2 F ormeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können FA-R 1.8 D urch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können Bislang wurden nur Funktionen betrachtet, die von einer Variablen abhängig sind. Bei Formeln allerdings werden oft mehrere Variablen verwendet. Diese Formeln kann man auch als Funktionen interpretieren: Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist von den beiden Seitenlängen abhängig: A(a, b) = a · b Das Volumen eines Zylinders ist von r und h abhängig: V(r, h) = r 2 πh Stelle die gesuchte Formel in Funktionsschreibweise dar. a) Flächeninhalt eines Parallelogramms d) Oberfläche eines Quaders b) Flächeninhalt eines Trapezes e) Oberfläche eines Zylinders c) Flächeninhalt einer Raute f) Volumen eines Kegels Bei der Volumsformel des Zylinders V(r, h) = r 2 πhsind r und h die unabhängigen Variablen. Für diese Variablen muss eine Definitionsmenge angegeben werden. Da nur positive Radien und Höhen in Frage kommen, schreibt man: D = ℝ + × ℝ + oder D = (ℝ +) 2. Sind es n Variablen, dann schreibt man z.B. D = (ℝ+)n. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem kann man die Formel des Zylinders auch geometrisch darstellen. Setzt man z.B. in die obige Formel für r = 2 und h = 1ein, dann erhält man als Funktionswert V(2, 1) = 2 2 · π · 1 ≈ 12,6. Daher kann man den Punkt (2|1|12, 6) in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen. Allgemein kann man auch Funktionen in mehr als zwei Variablen betrachten. Funktion in zwei Variablen G f(x,y) f(r,h) = r2π h f(2,3) 37.7 C f(x,y) f(x,y) = x2 + 3y f(2,5) 19 T f(x,y) f(r,h) = r2π h f(2,3) 12π Funktion in mehreren Variablen Eine Funktion f : D → ℝ mit D ⊆ ℝ n nennt man eine reelle Funktion in n Variablen. (n ∈ ℕ\{0}) Kompetenzen 243 2 4 6 –2 –2 2 4 6 2 4 6 –2 0 y z x V Technologie Ó Technologie Anleitung Funktionen in zwei Variablen fi9w4k Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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