56 4.4 Verketten von Funktionen Lernziel: º Funktionen verketten können Viele Funktionen setzen sich aus anderen Funktionen zusammen. Betrachtet man die Funktion h mit h(x) = x 2 + 3, so könnte man diese Funktion als Verkettung zweier Funktionen betrachten: Zuerst wird der x-Wert quadriert, anschließend wird 3 zum Ergebnis addiert: f(x) = x 2 und g (x) =x+3→ h(x) = g(f(x)) = x 2 + 3(f(x) wird in g(x)eingesetzt) Allgemein: x f(x) g(x) g ° f = g(f(x)) Beachte, dass die Wertemenge von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von g sein muss. Verkettung von Funktionen Für die Funktionen f: D f → ℝ und g : Dg → ℝ, wobei f(D f) eine Teilmenge von Dg ist, heißt g ∘ f: D f → ℝ mit (g ∘ f)(x) = g(f(x)) die Verkettung von g nach f (d.h. g wird nach f durchgeführt). Bilde die Verkettung der Funktionen g nach f und gib die größtmögliche Definitionsmenge von f an, sodass diese Verkettung möglich ist. f(x) = 3 x − 3 g (x) = 9 _ x + 1 Es wird g nach f verkettet. Dafür wird die Funktion f in g eingesetzt: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(3 x − 3) = 9 _3 x − 3 + 1 ⇒ h(x) = 9 _3 x − 3 + 1 Da die Wurzel aus negativen Zahlen in ℝ nicht existiert, muss die Definitionsmenge von f eingeschränkt werden: 3 x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 ⇒ D f = [1; ∞) Bestimme für die gegebene Funktion 1) f(4) 2) f(u) 3) f(− 2 x + 1) 4) f(x 2 − 3). a) f(x) = 2 x − 4 b) f(x) = − 4 x + 3 c) f(x) = x 2 + 1 d) f(x) = x _ 3 e) f(x) = − 3 _ 5 x Bilde die Verkettung g nach f und gib die größtmögliche Definitionsmenge von f an, sodass die Verkettung möglich ist. a) f(x) = 2 x − 4 g(x) = 3 x + 1 c) f(x) = x − 2 g(x) = 9 _x − 3 b) f(x) = − 3 x + 1 g(x) = 2 x − 5 d) f(x) = 4 x + 3 g(x) = 9 _2 x − 1 Bilde 1) (f ∘ g)(x) 2) (g ∘ f)(x) 3) (f ∘ f)(x) 4) (g ∘ g)(x) 5) (f ∘ f −1)(x). a) f(x) = x 2 − 2 g(x) = 2 x − 4 b) f(x) = 3 x2 + 3 g(x) = − 3 x 2 − 1 Verkettung zweier Funktionen g nach f � g(f(x)) g(x) = x2 + 3, f(x) = 2 x – 1 g(f(x)) (2 x – 1)2 + 3 � g(f(x)) g(x) = x2 + 3, f(x) = 2 x – 1 g(f(x)) (2 x – 1)2 + 3 � g(f(x)) g(x): = x2 + 3, f(x): = 2 x – 1 g(f(x)) 4 x2 – 4 x + 4 Kompetenzen Merke Muster 239 240 241 242 Technologie Ó Technologie Anleitung Verkettung von Funktionen hz38ky Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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