52 Untersuchen reeller Funktionen > Symmetrie und Periodizität 4 Gib aufgrund des Graphen von f an, ob die Funktion gerade oder ungerade ist und begründe deine Behauptung. a) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 0 f(x) f c) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 f(x) f b) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –2 0 f(x) f d) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –2 0 f(x) f Zeichne den Graphen der Funktion f und gib an, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Überprüfe deine Behauptung durch eine Rechnung. a) f(x) = x 3 − 3x c) f(x) = x 4 + 3 x2 − 5 e) f(x) = x 6 + 3 x2 − 1 b) f(x) = x 3 − 9x d) f(x) = − x 4 − 7 x 2 + 1 f) f(x) = x 3 + 3x − 5 Ist die Behauptung richtig oder falsch? Begründe deine Entscheidung. a) Es gibt lineare Funktionen, die ungerade sind. b) Es gibt eine Funktion, die gerade und ungerade ist. c) Es gibt eine Funktion f der Form f(x) = a·x2, a ≠ 0, die gerade ist. d) Es gibt eine Funktion, die symmetrisch zur x-Achse ist. Periodizität Periodische Dezimalzahlen wurden schon in der Unterstufe eingeführt. Dabei wiederholt sich eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen immer wieder. Auch die Wochentage wiederholen sich stets (z.B. Jeder siebte Tag ist ein Montag, wenn man bei einem Montag beginnt). Ein ähnliches Prinzip wird bei Funktionen angewendet. In der Abbildung ist der Graph einer periodischen Funktion dargestellt. Man erkennt, dass sich ein Abschnitt des Graphen immer wieder wiederholt. Es gilt f(− 1, 5) = f(0, 5) = f(2, 5) = ... Verändert man den x-Wert um 2, dann erhält man immer gleiche Funktionswerte. Man sagt 2 ist eine Periode der Funktion. Periodische Funktion Gilt für eine reelle Funktion f f(x) = f(x + p) für alle x aus der Definitionsmenge, p ∈ ℝ +, dann nennt man f eine periodische Funktion mit Periode p. Tipp: Beachte, dass auch jedes Vielfache von p wieder eine Periode von f ist. 227 228 229 x 1 2 3 –2 –1 2 4 –2 0 f(x) f(x + 2) x x + 2 x + 4 f(x + 4) f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = ... f f(x) Ó Technologie Darstellung Periodizität jm6u79 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=