46 Untersuchen reeller Funktionen > Monotonie und Extremstellen von Funktionen 4 Monotonie von Funktionen Sei f : D → ℝ eine reelle Funktion und A eine Teilmenge von D. Die Funktion f heißt streng monoton steigend in A, wenn für alle x 1, x 2 ∈ A gilt: x f(x) 0 f(x1) x1 < x2 x1 x2 A f(x2) f(x1) < f(x2) f x 1 < x 2 ⇒ f(x 1) < f(x 2) (d. h. die Funktionswerte werden größer) streng monoton fallend in A, wenn für alle x 1, x 2 ∈ A gilt: x f(x) 0 f(x2) x1 < x2 x1 x2 A f(x1) f(x1) > f(x2) f x 1 < x 2 ⇒ f(x 1) > f(x 2) (d. h. die Funktionswerte werden kleiner) monoton steigend in A, wenn für alle x 1, x 2 ∈ A gilt: x f(x) 0 x1 < x2 x1 f x2 A f(x1) ª f(x2) x 1 < x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) (d. h. die Funktionswerte werden größer oder bleiben gleich) monoton fallend in A, wenn für alle x1, x 2 ∈ A gilt: x f(x) 0 x1 < x2 x1 f x2 A f(x1) º f(x2) x 1 < x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) (d. h. die Funktionswerte werden kleiner oder bleiben gleich) konstant in A, wenn für alle x1, x 2 ∈ A gilt: x f(x) 0 x1 < x2 x1 f x2 A f(x1) = f(x2) x 1 < x 2 ⇒ f(x 1) = f(x 2) (d. h. die Funktionswerte bleiben gleich) Ist eine Funktion f in einer Teilmenge A der Definitionsmenge weder monoton steigend noch monoton fallend, dann sagt man f ist in A nicht monoton. Skizziere den Graphen einer Funktion f : [− 3; 5] → ℝ mit folgenden Eigenschaften. a) f ist streng monoton steigend in [− 3; 0] und [3; 5] bzw. streng monoton fallend in [0; 3]. b) f ist streng monoton fallend in [− 3; − 1] und [4; 5] bzw. streng monoton steigend in [− 1; 4]. c) f ist konstant in [− 3; 3] bzw. monoton fallend (aber nicht streng monoton) in [3; 5]. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f im Intervall 1) [a; b] 2) [b; c] 3) [b; d] 4) [a; d]. 1) Da die Funktionswerte im Intervall [a; b] für größer werdende x-Werte kleiner werden, ist f in [a; b] streng monoton fallend. 2) Da die Funktionswerte im Intervall [b; c] für größer werdende x-Werte gleich bleiben, ist f in [b; c] konstant. 3) Da die Funktionswerte im Intervall [b; d] für größer werdende x-Werte entweder gleich bleiben oder größer werden, ist f in [b; d] monoton steigend, aber nicht streng monoton. 4) Da die Funktionswerte im Intervall [a; d] für größer werdende x-Werte sowohl kleiner als auch größer werden, ist f in [a; d] nicht monoton. Merke 207 Muster 208 x f(x) b c d a 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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