40 3.2 Betragsungleichungen Lernziele: º Betragsungleichungen lösen können Tritt in einer Ungleichung der Betrag eines Terms auf, spricht man von einer Betragsungleichung. Es gilt: |x| < a ⇔ − a < x < a |x| > a ⇔ x < − a ∨ x > a a –a 0 a –a 0 Löse die Betragsungleichungen a) |2x − 7| ≤ 1 b) |3x + 5| > 14in der Menge ℝ. a) − 1 ≤ 2x − 7 ≤ 1 | + 7 b) Fall 1: 3x + 5 < − 14 | − 5 6 ≤ 2x ≤ 8 | : 2 3x < − 19 | : 3 3 ≤ x ≤ 4 x < − 19 _ 3 → L 1 = (− ∞; − 19 _ 3 ) L = [3; 4] Fall 2: 3x+5 > 14 | − 5 3x > 9 | : 3 x > 3 → L 2 = (3; ∞) L = L 1 ± L 2 = (– ∞; – 19 __ 3 ) ± (3; ∞) = R\[– 19 __ 3 ; 3] Löse die Betragsungleichung mit G = ℝ. a) |x| < 5 b) |x| ≥ 2 c) |x| ≤ 8 d) |x| > 3 Löse die Betragsungleichung mit G = ℝ. a) |x − 5| < 4 b) |3x − 2| ≤ 7 c) |2x + 3| > 4 d) |3 − x| ≥ 11 e) |7 − 4x| > 2 Zusammenfassung Lineare Ungleichungen º Lineare Ungleichungen mir einer Variable löst man mit Äquivalenzumformungen. Wird dabei mit einem negativen Wert multipliziert bzw. dividiert, ändert sich das Relationszeichen. Die Lösung ist im Allgemeinen ein Bereich auf der Zahlengeraden. º Die Lösung einer linearen Ungleichung mit zwei Variablen besteht aus allen Zahlenpaaren, die die Ungleichung erfüllen und kann in einem Koordinatensystem als Fläche dargestellt werden. º Zwei lineare Ungleichungen können zu einem System zusammengefasst werden. Man löst jede Ungleichung einzeln. Der Durchschnitt der beiden Lösungen bildet die Gesamtlösung des Systems. Betragsungleichungen Nach dem auftretenden Relationszeichen werden Fälle unterschieden: Es gilt: |x| < a ⇔ − a < x < a |x| > a ⇔ x < − a ∨ x > a Die Vereinigung der Lösungen der einzelnen Fälle bildet die Gesamtlösung. Kompetenzen Muster 189 190 191 Ó Arbeitsblatt Betragsungleichungen lösen, Lösungen in Graphen einzeichnen, Ungleichungen mit Parametern s6a3ut Ó Arbeitsblatt Quadratische Ungleichungen 9sq6iu Ó Arbeitsblatt Bruchungleichungen 9t2yt5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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